Question

 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動．伴隨著P、Q的運(yùn)動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時(shí)間是t秒（t＞0）。

1.（1）(2分) 當(dāng)t = 2時(shí)，AP =      ，點(diǎn)Q到AC的距離是      ；

2.（2）（2+2分）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動的過程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求出S的最大值。

3.（3）（4分）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；

4.（4）（2分）當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C 時(shí)，請求出t的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）1，

2.（2）作QF⊥AC于點(diǎn)F，如圖1， AQ = CP= t，∴．

由△AQF∽△ABC，，

得．∴． ∴，

即．

∵

∴當(dāng)t=時(shí)，S的最大值是

3.

    此時(shí)∠AQP=90°．

由△APQ ∽△ABC，得，

即． 解得．

②如圖3，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．

此時(shí)∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABC，得 ，

即． 解得．

4.（4）①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動，DE經(jīng)過點(diǎn)C．

方法一、由，得，進(jìn)而可得

，得，∴．∴．

方法二、連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，如圖4．

，．[來源:ZXXK]

∵DC垂直平分PQ，∴PC=QC

由，得，解得．

②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動，DE經(jīng)過點(diǎn)C ，作QG⊥BC于點(diǎn)G，

如圖5．PC=2AC-t=6-t，

據(jù)上方法二，．

【解析】略