Question

18．已知：拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)與x軸交于C點(diǎn)，與直線y=kx+4相交于A（1，m），B（2，2）兩點(diǎn)．
（1）試求直線和拋物線的解析式；
（2）在x軸上方是否存在點(diǎn)D，使得S_△OCD=$\frac{9}{16}$S_△OCB？如果存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)D；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直線y=kx+4過A（1，m），B（2，2）兩點(diǎn)，列方程組求k、m的值，再把O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求a、b、c的值；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-2x²+5x），即可表示出△OCD的面積，然后求得△OCB的面積，由已知條件得出方程，解此方程求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，再求出縱坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵直線y=kx+4過A（1，m），B（2，2）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+4=m}\\{2k+4=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x+4，A（1，3），
把O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=3}&{\;}\\{4a+2b+c=2}&{\;}\\{c=0}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}&{\;}\\{b=5}&{\;}\\{c=0}&{\;}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-2x²+5x；
（2）存在．理由如下：
過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，如圖所示：
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-2x²+5x），
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•DE=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（-2x²+5x）=$\frac{5}{4}$（-2x²+5x），
∵S_△OCB=$\frac{1}{2}$×OC×2=OC=$\frac{5}{2}$，
又∵S_△OCD=$\frac{9}{16}$S_△OCB，
∴$\frac{5}{4}$（-2x²+5x）=$\frac{9}{16}$×$\frac{5}{2}$，
解得：x₁=$\frac{1}{4}$，x₂=$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，y=$\frac{9}{8}$，
當(dāng)x=$\frac{9}{4}$時(shí)，y=$\frac{9}{8}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{8}$）或（$\frac{9}{4}$，$\frac{9}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，圓的外心的定義，三角函數(shù)以及三角形面積的求解方法等知識(shí)．注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．