Question

如圖，?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．

（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）求CD的所在直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿B→A方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)E，若S_△PBE=

1

3

S_△ABO，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）在（3）中，若動(dòng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A后沿AD方向以原速度繼續(xù)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，PE與DC邊交于點(diǎn)F，如圖（2），是否存在這樣的t值，使得S_△PBF=

1

3

S_△ABO？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先解一元二次方程x²-7x+12=0求得OA、OB的長(zhǎng)，再運(yùn)用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)；
（2）先由（1）中OA、OB的長(zhǎng)得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求出CD的所在直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）先由PE∥OA，得出△PBE∽△ABO，列出比例式，得到BE、PE的長(zhǎng)，再根據(jù)S_△PBE=

1

3

S_△ABO，列出關(guān)于t的方程，解方程即可；
（4）先由AP=t-5，得出BE=t-2，CE=t-8，PD=11-t，再根據(jù)△PDF∽△ECF，得出PF=

44-4t

3

，然后由S_△PBF=

1

3

S_△ABO列出關(guān)于t的方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，
∴（x-3）（x-4）=0，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理，得AB=5；

（2）∵OA=4，OB=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0），
∵?ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=kx+b，則
6k+b=4，3k+b=0，
k=

4

3

，b=-4，
故直線(xiàn)CD的解析式為y=

4

3

x-4；

（3）如圖1．∵PE∥OA，
∴△PBE∽△ABO，
∴BE：BO=PE：AO=BP：BA，即BE：3=PE：4=t：5，
∴BE=

3

5

t，PE=

4

5

t，
∵S_△PBE=

1

3

S_△ABO，
∴

1

2

×

3

5

t×

4

5

t=

1

3

×

1

2

×3×4，
解得t=±

5 3

3

（負(fù)值舍去），
∴OE=OB-BE=3-

3

5

×

5 3

3

=3-

3

，PE=

4

5

×

5 3

3

=

4 3

3

，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3+

3

，

4 3

3

）；

（4）存在這樣的t值，能夠使得S_△PBF=

1

3

S_△ABO．理由如下：
如圖2．∵BA+AP=t，
∴AP=t-5，
∴BE=BO+OE=3+t-5=t-2，CE=OE-OC=t-5-3=t-8，PD=AD-AP=6-t+5=11-t．
∵PD∥CE，
∴△PDF∽△ECF，
∴PD：EC=PF：EF，
∴PD：（PD+EC）=PF：（PF+EF），
（11-t）：（11-t+t-8）=PF：4，
∴PF=

44-4t

3

．
∵S_△PBF=

1

3

S_△ABO，
∴

1

2

PF×BE=

1

3

×

1

2

×3×4，
∴

1

2

×

44-4t

3

×（t-2）=2，
整理，得t²-13t+25=0，
解得t=

13± 69

2

（負(fù)值舍去）．
故存在t=

13+ 69

2

，使得S_△PBF=

1

3

S_△ABO．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)的綜合題，涉及到平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理，待定系數(shù)法求直線(xiàn)的解析式，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)與判定及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、存在性問(wèn)題等知識(shí)，本題中用含t的代數(shù)式正確表示出三角形的底與高是解題的關(guān)鍵．