Question

已知

6x3+10x

x4+x2+1

=

Ax+B

x2+x+1

+

Cx+D

x2-x+1

，其中A，B，C，D為常數(shù)，則A+B+C+D=

 

．

Answer 1

分析：由于x⁴+x²+1=（x²+1）²-x²=（x²+1+x）（x²+1-x），利用這個(gè)等式首先把已知等式右邊通分化簡，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到關(guān)于A、B、C、D的方程組，解方程組即可求解．

解答：解：∵

6x3+10x

x4+x2+1

=

Ax+B

x2+x+1

+

Cx+D

x2-x+1

，
并且x⁴+x²+1=（x²+1）²-x²=（x²+1+x）（x²+1-x），
∴

6x3+10x

x4+x2+1

=

(Ax+B)(x2+1-x)+(Cx+D)(x2+1+x)

x4+x2+1

∴6x³+10x=（Ax+B）（x²+1-x）+（Cx+D）（x²+1+x）
∴當(dāng)x=0時(shí)，B+D=0 ①
當(dāng)x=1時(shí)，A+B+3（C+D）=16  ②
當(dāng)x=-1時(shí)，3（B-A）+D-C=-16  ③
         依題意得A+C=6     ④
聯(lián)立①②③④解之得
A=C=3、B=-2、D=2，
∴A+B+C+D=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了部分分式的計(jì)算，題目比較復(fù)雜，解題時(shí)首先正確理解題意，然后根據(jù)題意列出關(guān)于A、B、C、D的方程組即可解決問題．