Question

已知關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為8，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．

Answer 1

考點：根的判別式,三角形三邊關系,等腰三角形的性質

專題：

分析：（1）先計算出△=1，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結論；
（2）先利用公式法求出方程的解為x₁=k，x₂=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．

解答：（1）證明：∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的解為x=

2k+1± 1

2

，即x₁=k，x₂=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
當AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=8；
當AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=8，解得k=7，
所以k的值為8或7．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關系以及等腰三角形的性質．