【題目】如圖,已知正方形ABCD與正方形CEFG,點(diǎn)E在CD上,點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,M是AF的中點(diǎn),連接DM,EM.
(1)填空:DM與EM數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系為 (直接填寫(xiě));
(2)若AB=4,設(shè)CE=x(0<x<4),△MEF面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式[可利用(1)的結(jié)論],并求出y的最大值;
(3)如果將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度,我們發(fā)現(xiàn)DM與EM數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍未發(fā)生改變.
①若正方形ABCD邊長(zhǎng)AB=13,正方形CEFG邊長(zhǎng)CE=5,當(dāng)D,E,F三點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至同一條直線(xiàn)上時(shí),求出MF的長(zhǎng);
②證明結(jié)論:正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度,DM與EM數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系仍未發(fā)生改變.
【答案】(1)DM=ME,DM⊥EM;(2)y=(x﹣2)2+1,最大值1;(3)①或 ,②見(jiàn)解析
【解析】
(1)證明△MHA≌△MEF得出MH=ME,AH=EF=EC,得出DH=DE,由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)由全等三角形的性質(zhì)和三角形面積公式得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果;
(3)①分兩種情況,由全等三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可;
②證明△ADH≌△CDE得出DH=DE,∠ADH=∠CDE,得出∠HDE=90°,即可得出結(jié)論.
(1)解:結(jié)論:DM=ME,DM⊥EM.
理由:如圖1中,延長(zhǎng)EM交AD于H.
∵四邊形ABCD是正方形,四邊形EFGC是正方形,
∴∠ADE=∠DEF=90°,AD=CD,
∴AD∥EF,
∴∠MAH=∠MFE,
在△MHA和△MEF中,
∴△MHA≌△MEF(ASA),
∴MH=ME,AH=EF=EC,
∴DH=DE,
∵∠EDH=90°,
∴DM=ME,DM⊥EM;
故答案為:DM=ME,DM⊥EM;
(2)解:作MP⊥DH于P,如圖2所示:
∵∠EDH=90°,DM⊥EM,DM=ME,
∴MP=DH=(4﹣x),
由(1)得:△MHA≌△MEF,
∴△MHA的面積=△MEF的面積,
∴y=AH×MP=x×(4﹣x)=(x2﹣4x)=(x﹣2)2+1,
即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=x2﹣x,
∵y=x2﹣x=(x﹣2)2+1,
∴當(dāng)x=2時(shí),y有最大值為1;
(3)①解:當(dāng)D、E、F三點(diǎn)在正方形ABCD外同一條直線(xiàn)上時(shí),如圖3所示:
連接DE,延長(zhǎng)EM到H,使得MH=ME,連接AH,作MR⊥DE于R,
在△AMH和△FME中,,
△AMH≌△FME(SAS),
∴AH=EF=EC,∠MAH=∠MFE,
∴AH∥DF,
∴∠DAH+∠ADE=180°,
∴∠DAH+∠CDE=90°,
∵∠DCE+∠EDC=90°
∴∠DAH=∠DCE,
在△DAH和△DCE中,,
∴△DAH≌△DCE(SAS),
∴DH=DE,∠ADH=∠CDE,
∴∠HDE=∠ADC=90°,
∵ME=MH,
∴DM⊥EH,DM=MH=EM,
∵正方形ABCD邊長(zhǎng)AB=CD=13,正方形CEFG邊長(zhǎng)CE=5,
∴在Rt△CDE中,DE===12,
∵DM=ME,DM⊥ME,
∴MR⊥DE,MR=DE=6,DR=RE=6,
∴FR=RE+EF=11,
在Rt△FMR中,FM===;
當(dāng)D、E、F三點(diǎn)在正方形ABCD內(nèi)同一條直線(xiàn)上時(shí),如圖4中,作MR⊥DE于R,
在Rt△MRF中,FM===,
綜上所述,滿(mǎn)足條件的MF的值為 或 .
②證明:作AH∥EF交EM的延長(zhǎng)線(xiàn)于H,連接DH、DE,如圖5所示:
同(1)得:△MHA≌△MEF,
∴MH=ME,AH=EF=CE,
∵AH∥EF,EF⊥CE,
∴AH⊥CE,又∵AD⊥CD,
∴∠DAH=∠DCE,
在△ADH和△CDE中,,
∴△ADH≌△CDE(SAS),
∴DH=DE,∠ADH=∠CDE,
∴∠HDE=90°,
∵MH=ME,
∴DM=ME,DM⊥EM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(2,0)和(3,0)之間,對(duì)稱(chēng)軸是x=1.對(duì)于下列說(shuō)法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m為實(shí)數(shù));⑤當(dāng)﹣1<x<3時(shí),y>0,其中正確的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E.
(1)求證:DE是⊙O的切線(xiàn).
(2)若DE,∠C=30°,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=的圖象交于點(diǎn)A(2,2),B(﹣1,a)
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)設(shè)點(diǎn)P(h,y1),Q(h,y2)分別是兩函數(shù)圖象上的點(diǎn);
①試直接寫(xiě)出當(dāng)y1>y2時(shí)h的取值范圍;
②若y1﹣y2=2,試求h的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市大力發(fā)展鄉(xiāng)村旅游產(chǎn)業(yè),全力打造客都美麗鄉(xiāng)村”,其中“客家美景、客家文化、客家美食”享譽(yù)全省,游人絡(luò)繹不絕.去年我市某村村民抓住機(jī)遇,投入20萬(wàn)元?jiǎng)?chuàng)辦農(nóng)家樂(lè)(餐飲+住宿),一年時(shí)間就收回投資的80%,其中餐飲收入是住宿收入的2倍還多1萬(wàn)元.
(1)求去年該農(nóng)家樂(lè)餐飲和住宿的收入各為多少萬(wàn)元?
(2)今年該村村民再投入了10萬(wàn)元,增設(shè)了土特產(chǎn)的實(shí)體銷(xiāo)售和網(wǎng)上銷(xiāo)售項(xiàng)目并實(shí)現(xiàn)盈利,村民在接受記者采訪(fǎng)時(shí)說(shuō),預(yù)計(jì)今年餐飲和住宿的收入比去年還會(huì)有10%的增長(zhǎng).這兩年的總收入除去所有投資外還能獲得不少于10萬(wàn)元的純利潤(rùn),請(qǐng)問(wèn)今年土特產(chǎn)銷(xiāo)售至少收入多少萬(wàn)元?
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【題目】某旅游團(tuán)到永定土樓觀光,計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A型、B型兩種型號(hào)的土樓模型.若購(gòu)買(mǎi)8個(gè)A型土樓模型和5個(gè)B型土樓模型需用1540元;若購(gòu)買(mǎi)4個(gè)A型土樓模型和6個(gè)B型土樓模型需用1120元.求A,B兩種型號(hào)土樓模型的單價(jià)分別是多少元.
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【題目】如圖,將△ABC沿BC邊上的中線(xiàn)AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面積為9,陰影部分三角形的面積為4.若AA'=1,則A'D等于( 。
A. 2 B. 3 C. D.
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【題目】定義:如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余,那么我們稱(chēng)這個(gè)四邊形為“對(duì)角互余四邊形”.
(1)如圖①,在對(duì)角互余四邊形ABCD中,∠B=60°,且AC⊥BC,AC⊥AD,若BC=1,則四邊形ABCD的面積為 ;
(2)如圖②,在對(duì)角互余四邊形ABCD中,AB=BC,BD=13,∠ABC+∠ADC=90°,AD=8,CD=6,求四邊形ABCD的面積;
(3)如圖③,在△ABC中,BC=2AB,∠ABC=60°,以AC為邊在△ABC異側(cè)作△ACD,且∠ADC=30°,若BD=10,CD=6,求△ACD的面積.
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【題目】如圖,在中,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),以點(diǎn)為圓心作圓心角為的扇形,點(diǎn)恰在弧上,則圖中陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
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