Question

如圖：已知，BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD且∠BEC=30度，則∠EAC=

 

．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ECD=

1

2

∠ACD，然后整理得到∠BEC=

1

2

∠BAC，過點E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延長線于H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得EF=EG=EH，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出AE平分∠CAH，然后列式計算即可得解．

解答：解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，
∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ECD=

1

2

∠ACD，
∴∠BEC+∠EBC=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
∴∠BEC=

1

2

∠BAC，
∵∠BEC=30°，
∴∠BAC=60°，
過點E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延長線于H，
∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACD，
∴EF=EH，EF=EG，
∴EF=EG=EH，
∴AE平分∠CAH，
∴∠EAC=

1

2

（180°-∠BAC）=

1

2

（180°-60°）=60°．
故答案為：60°．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．