Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=，BC=6，∠B=45°．直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經(jīng)過點A，斜邊與腰CD（或CD的延長線）交于點F．設(shè)BE=x，CF=y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求當x為何值時，y取得最大值，并求出該最大值；
（3）若△ABE為等腰三角形，求CF的長．

Answer 1

解：（1）由題意得∠B=∠C，∠AEB=180°-∠AEF-∠FEC=180°-45°=∠EFC．
∴△ABE∽△EFC，可得===，
故可得（0≤x≤6）；

（2）由（1）得，
∴當x=3時，y取得最大值=．

（3）△ABE為等腰三角形有兩種情況，AB=AE或AE=BE或AB=BE
①當AB=AE時BE=4，代入（1）的關(guān)系式可得，
②當AE=BE時BE=2，代入關(guān)系式可得，y的大小既是CF的長．
③當AB=BE=2時，

∵∠B=45°，
∴∠BEA=67.5°，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴CF=CE=BC-BE=6-2；
故可得：若△ABE為等腰三角形，CF的長為或6-2．
分析：（1）由題意得∠B=∠C，再求得∠AEB=∠EFC，可得出△ABE∽△EFC，從而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，又E再BC上運動可得（0≤x≤6）；
（2）根據(jù)（1）的二次函數(shù)的關(guān)系式可求y的最大值；
（3）△ABE為等腰三角形有兩種情況，AB=AE或AE=BE①當AB=AE時BE=4，代入（1）的關(guān)系式可得②當AE=BE時BE=2代入關(guān)系式可得．③當AB=BE時也可求出CF的長．
點評：本題屬有難度的題，關(guān)鍵在于觀察x與y的關(guān)系怎樣建立，得出x與y的關(guān)系后就簡單了．