Question

【題目】拋物線y=4x2﹣2ax+b與x軸相交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）（0＜x1＜x2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）設(shè)AB=2，tan∠ABC=4，求該拋物線的解析式；
（2）在（1）中，若點(diǎn)D為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）是否存在整數(shù)a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時(shí)成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵tan∠ABC=4

∴可以假設(shè)B（m，0），則A（m﹣2，0），C（0，4m），

∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y=4（x﹣m）（x﹣m+2），

把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，

∴拋物線的解析式為y=4（x﹣3）（x﹣1），

∴y=4x2﹣16x+12

（2）

解：如圖，設(shè)P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H．

∵B（3，0），C（0，12），

∴直線BC的解析式為y=﹣4x+12，

∴H（m，﹣4m+12），

∴S△PBC=S△PHC+S△PHB= （﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）3=﹣6（m﹣ ）2+ ，

∵﹣6＜0，

∴m= 時(shí)，△PBC面積最大，

此時(shí)P（ ，﹣3）

（3）

解：不存在．

理由：假設(shè)存在．由題意可知，

且1＜﹣ ＜2，

∴4＜a＜8，

∵a是整數(shù)，

∴a=5 或6或7，

當(dāng)a=5時(shí)，代入不等式組，不等式組無解．

當(dāng)a=6時(shí)，代入不等式組，不等式組無解．

當(dāng)a=7時(shí)，代入不等式組，不等式組無解．

綜上所述，不存在整數(shù)a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同時(shí)成立

【解析】（1）由tan∠ABC=4，可以假設(shè)B（m，0），則A（m﹣2，0），C（0，4m），可得拋物線的解析式為y=4（x﹣m）（x﹣m+2），把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），求出m的值即可解決問題；（2）設(shè)P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H，根據(jù)S△PBC=S△PHC+S△PHB構(gòu)建二次函數(shù)，理由二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（3）不存在．假設(shè)存在，由題意由題意可知， 且1＜﹣ ＜2，首先求出整數(shù)a的值，代入不等式組，解不等式組即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．