【題目】如果abbc,即b2ac,則bac的比例中項,或等比中項.若一個三角形一條邊是另兩條邊的等比中項,我們把這個三角形叫做等比三角形.

1)已知ABC是等比三角形,AB2,BC3.請直接寫出所有滿足條件的AC的長;

2)如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,對角線BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC,求證:ABC是等比三角形;

3)如圖2,在(2)的條件下,當(dāng)∠ADC90時,求的值.

【答案】1AC時,ABC是比例三角形;(2)見解析;(3

【解析】

1)根據(jù)題目中定義的等比三角形求解即可,應(yīng)分三種情況討論;

2)根據(jù)題意可先證明△ABC∽△DCA,從而可得CA2BCAD,再根據(jù)已知條件證明ABAD,從而可證明CA2BCAB,繼而△ABC是等比三角形得證;

3)過點AAHBD于點H,由等腰三角形的性質(zhì)可得BHBD,根據(jù)題意可證△ABH∽△DBC,從而可得ABBCBD2,由(2)的結(jié)論可得BD2AC2,進而可求的值.

解:(1)∵△ABC是比例三角形,且AB2BC3,

①當(dāng)AB2BCAC時,得:43AC,解得:AC;

②當(dāng)BC2ABAC時,得:92AC,解得:AC;

③當(dāng)AC2ABBC時,得:AC26,解得:AC(負(fù)值舍去);

所以當(dāng)AC時,ABC是等比三角形;

2)∵ADBC,

∴∠ACB=∠CAD,

又∵∠BAC=∠ADC,

∴△ABC∽△DCA,

,即CA2BCAD,

ADBC,

∴∠ADB=∠CBD,

BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD,

∴∠ADB=∠ABD,

ABAD,

CA2BCAB

∴△ABC是等比三角形;

3)如圖,過點AAHBD于點H,

ABAD,

BHBD

ADBC,∠ADC90°,

∴∠BCD90°

∴∠BHA=∠BCD90°,

又∵∠ABH=∠DBC,

∴△ABH∽△DBC,

,即ABBCBHDB,

ABBCBD2,

又∵ABBCAC2,

BD2AC2

練習(xí)冊系列答案
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1)小禮誦讀《論語》的概率是   ;(直接寫出答案)

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