Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)， 聯(lián)結(jié)交線段于點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求的正切值；

（3）當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）2；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，構(gòu)造等腰直角△ABH和直角△BCH，利用勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，從而利用銳角三角函數(shù)的定義求得答案；

（3）如圖2，過點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K，構(gòu)造直角△DOK，設(shè)D（x，x22x＋3），則K（x，0）．并由題意知點(diǎn)D位于第二象限．由于∠BAC是公共角，所以當(dāng)△AOE與△ABC相似時(shí)，有2種情況：

①∠AOD＝∠ABC．則tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．由銳角三角函數(shù)定義列出比例式，從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

②∠AOD＝∠ACB．則tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．由銳角三角函數(shù)定義列出比例式，從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（1）解：設(shè)拋物線的解析式為

拋物線過點(diǎn)

解得

這條拋物線的解析式為

頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）解：過點(diǎn)作，垂足為

在中，

（3）解：過點(diǎn)作軸，垂足為

設(shè)，則，并由題意可得點(diǎn)在第二象限

是公共角

當(dāng)與相似時(shí)

存在以下兩種可能

①

解得，（舍去）

②

解得，（舍去）

綜上所述：當(dāng)與相似時(shí)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或