Question

如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．
（1）求

OA

AB

的值．
（2）若E為x軸上的點，且S_△AOE=

16

3

，求經(jīng)過D、E兩點的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？
（3）若點M在平面直角坐標系內(nèi)，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）解一元二次方程求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求出AB的長度，再代入計算即可；
（2）先根據(jù)三角形的面積求出點E的坐標，并根據(jù)平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)求出點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對應(yīng)邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．

解答：解：（1）x²-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0，x-4=0，
解得x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

42+32

=5，
∴sin∠ABC=

OA

AB

=

4

5

；

（2）根據(jù)題意，設(shè)E（x，0），則
S_△AOE=

1

2

×OA×x=

1

2

×4x=

16

3

，
解得x=

8

3

，
∴E（

8

3

，0）或（-

8

3

，0），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴點D的坐標是（6，4），
設(shè)經(jīng)過D、E兩點的直線的解析式為y=kx+b，
則①

8 3 k+ b=0 6k+b=4

，
解得

k= 6 5 b=- 16 5

，
∴解析式為y=

6

5

x-

16

5

；
②

- 8 3 k+ b=0 6k+b=4

，
解得

k= 6 13 b= 16 13

，
解析式為：y=

6

13

x+

16

13

，
在△AOE與△DAO中，

OA

OE

=

4

8 3

=

3

2

，

AD

OA

=

6

4

=

3

2

，
∴

OA

OE

=

AD

OA

，
又∵∠AOE=∠OAD=90°，
∴△AOE∽△DAO；

（3）根據(jù)計算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF=AC=5，
所以點F與B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM，
點F（3，8）．
③AC是對角線時，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=-

4

3

x+4，直線L過（

3

2

，2），且k值為

3

4

（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為-1），
L解析式為y=

3

4

x+

7

8

，聯(lián)立直線L與直線AB求交點，
∴F（-

75

14

，-

22

7

），
④AF是對角線時，過C做AB垂線，垂足為N，根據(jù)等積法求出CN=

24

5

，勾股定理得出，AN=

7

5

，做A關(guān)于N的對稱點即為F，AF=

14

5

，過F做y軸垂線，垂足為G，F(xiàn)G=

14

5

×

3

5

=

42

25

，
∴F（-

42

25

，

44

25

）．
綜上所述，滿足條件的點有四個：F₁（-3，0）；F₂（3，8）；F₃（-

75

14

，-

22

7

）；F₄（-

42

25

，

44

25

）．

點評：本題考查了解一元二次方程，相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，綜合性較強，（3）求點F要根據(jù)AC與AF是鄰邊與對角線的情況進行討論，不要漏解．