Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD下方的拋物線上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，作PM平行于y軸交直線AD于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)E，求△PHM的周長的最大值；

（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)E為端點(diǎn)，在直線EP的右側(cè)作一條射線與拋物線交于點(diǎn)N，使得∠NEP為銳角，在線段EB上是否存在點(diǎn)G，使得以E，N，G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？如果存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4．（2）當(dāng)a=1時，PM有最大值，最大值為4．（3）存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）先由銳角三角函數(shù)的定義求得C的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；

（2）先求得拋物線的對稱軸，從而得到點(diǎn)D（3，﹣4），然后可求得直線AD的解析式y=﹣x﹣1，故∠BAD=45°，接下來證明△PMD為等腰直角三角形，所當(dāng)PM有最大值時三角形的周長最大，設(shè)P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），則PM=﹣a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根據(jù)△MPH的周長=（1+）PM求解即可；

（3）當(dāng)∠EGN=90°時，如果或，則△AOC∽△EGN，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4），則EG=a﹣1，NG=﹣a2+3a+4，然后根據(jù)題意列方程求解即可．

解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴OA=1．

又∵tan∠ACO=，

∴OC=4．

∴C（0，﹣4）．

∵OC=OB，

∴OB=4

∴B（4，0）．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）．

∵將x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4．

（2）∵拋物線的對稱軸為x=﹣=，C（0，﹣4），點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴D（3，﹣4）．

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直線AD的解析式y=﹣x﹣1．

∵直線AD的一次項(xiàng)系數(shù)k=﹣1，

∴∠BAD=45°．

∵PM平行于y軸，

∴∠AEP=90°．

∴∠PMH=∠AME=45°．

∴△MPH的周長=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．

設(shè)P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），則PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，

∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，

∴當(dāng)a=1時，PM有最大值，最大值為4．

∴△MPH的周長的最大值=4×（1+）=4+4．

（3）如圖1所示；當(dāng)∠EGN=90°．

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴時，△AOC∽△EGN．

∴=，整理得：a2+a﹣8=0．

解得：a=（負(fù)值已舍去）．

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，0）．

如圖2所示：當(dāng)∠EGN=90°．

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴時，△AOC∽△NGE．

∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．

解得：a=（負(fù)值已舍去）．

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，0）．

∵EN在EP的右面，

∴∠NEG＜90°．

如圖3所示：當(dāng)∠ENG′=90°時，

EG′=EG××=（﹣1）×=．

∴點(diǎn)G′的橫坐標(biāo)=．

∵≈4.03＞4，

∴點(diǎn)G′不在EG上．

故此種情況不成立．

綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．