Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點E作AC的垂線EF交AD于M，交CD的延長線于點F．
（1）求證：EF、AD互相平分；
（2）若DF=2，求菱形ABCD的周長．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接BD，根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得AC⊥BD，然后求出EM∥BD，再判斷出M是AD的中點，從而得證；
（2）判斷出四邊形FDBE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等求出BE，再求出AB，然后根據(jù)菱形的周長公式進行計算即可得解．

解答：（1）證明：連接BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EM⊥AC，
∴EM∥BD，
∵E為AB的中點，
∴EM是△ABD的中位線，
∴M為AD的中點，EM=

1

2

BD．
∵EB∥FD，EM∥BD，
∴四邊形FDBE是平行四邊形，
∴EF=BD，
∴MF=EF-EM=BD-

1

2

BD=

1

2

BD，
∴EM=FM，
∴點M是EF的中點，
∴EF、AD互相平分；

（2）解：∵由（1）知，四邊形FDBE是平行四邊形，
∴FD=BE，
∵DF=2，
∴BE=2，
∴AB=2BE=2×2=4，
∴菱形ABCD的周長=4AB=4×4=16．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，主要利用了菱形的對角線互相垂直的性質(zhì)，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)．解答（1）題也可以利用全等三角形的性質(zhì)進行證明．