Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，等腰直角三角板ADE如圖放置，點D恰是AC的中點，AC=2AB．
（1）求證：△EAB≌△EDC．
（2）判斷△EBC的形狀．（有些角用數字表示更醒目）

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質可得AE=DE，∠EAD=∠EDA=45°，然后求出∠BAE=∠CDE=135°，再求出AB=CD，然后利用“邊角邊”證明△EAB和△EDC全等即可；
（2）根據全等三角形的對應邊相等可得BE=CE，全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，再求出∠BCE=90°，然后根據等腰直角三角形的判定解答即可．

解答：（1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠EAD=∠EDA=45°，
∵∠BAE=∠BAC+∠EAD=90°+45°=135°，
∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CDE=135°，
∵點D恰是AC的中點，
∴AC=2CD，
又∵AC=2AB，
∴AB=CD，
在△EAB和△EDC中，

AB=CD ∠BAE=∠CDE AE=DE

，
∴△EAB≌△EDC（SAS）；

（2）解：△EBC是等腰直角三角形．
理由如下：∵△EAB≌△EDC，
∴BE=CE，∠1=∠2，
∵∠1+∠3=∠AED=90°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠BEC=90°，
∴△EBC是等腰直角三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判斷與性質，等腰直角三角形的判定與性質，難度不大，熟練掌握三角形全等的判定方法并找出全等的條件是解題的關鍵．