Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA相鄰的外角平分線CF于點(diǎn)F。

（1）求證：EO=FO

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)CE平分∠ACB，可得∠BCE=∠ACE，又因?yàn)?/span>MN∥BC，從而∠BCE =∠FEC=∠ACE,得到EO=CO，同理，FO=CO，等量代換可得EO=FO．

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，當(dāng)∠ECF=90°時(shí)，平行四邊形AECF是矩形．

試題解析：（1）根據(jù)CE平分∠ACB，可得∠BCE=∠ACE，

又∵MN∥BC，

∴∠BCE =∠FEC=∠ACE,EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO．

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是平行四邊形，當(dāng)∠ECF=90°時(shí)，平行四邊形AECF是矩形，∵EO=FO，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵CF平分∠BCA的外角，CE平分∠BCA

∴∠ACE +∠ACF= ×180°=90°．

即∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．

考點(diǎn)：1角平分線的定義；2．矩形的判定；3等三角形的判定