【題目】在中,點(diǎn)為上一點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn),且.
(1)如圖1,若,求證:;
(2)如圖2,若,求證:;
(3) 如圖3,在(2)的條件下,若,且,,直接寫出線段的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)AB= .
【解析】
(1)證明△ABD∽△DCE即可解決問題.
(2)如圖2中,作CH∥AD交DE的延長線于H.首先證明CE=CH,再證明△BAD∽△HDC即可解決問題.
(3)如圖3中,作CH∥AD交DE的延長線于H,作CG⊥EH于G.證明△ECH是等腰直角三角形,解直角三角形求出CD,DH,AD,再利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.
(1)證明:如圖1中,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠ADC=∠B+∠DAB=∠ADE+∠EDC,∠ADE=∠B,
∴∠EDC=∠BAD,
∴△ABD∽△DCE,
∴,
∴ .
(2)證明:如圖2中,作CH∥AD交DE的延長線于H.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∵AD∥CH,
∴∠H=∠ADE,
∵∠AED=∠CEH,
∴∠H=∠CEH,
∴CE=CH,
∵∠ADE=∠B,∠ADE=∠H,
∴∠B=∠H,
∵∠HDC=∠BAD,
∴△BAD∽△HDC,
∴ ,
∴ ,
∴ .
(3)解:如圖3中,作CH∥AD交DE的延長線于H,作CG⊥EH于G.
∵∠DAC=90°,AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=∠H=∠CEH=45°,
∴EC=CH=4,∠ECH=90°,
∵CG⊥EH,
∴EH=4,EG=CG=GH=2,
∵sin∠CDE=,
∴CD=2 ,
∴DE=EG=2,DH=6,
∴AD=DE=2,
∵△BAD∽△HDC,
∴,
∴ ,
∴AB= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請(qǐng)閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù).
人類會(huì)作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前,由我國的墨子給出圓的概念:“一中同長也.”.意思說,圓有一個(gè)圓心,圓心到圓周的長都相等.這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下的定義要早100年.與圓有關(guān)的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.
我們把頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.
弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對(duì)的圓周角度數(shù).
下面是弦切角定理的部分證明過程:
證明:如圖①,AB與⊙O相切于點(diǎn)A.當(dāng)圓心O在弦AC上時(shí),容易得到∠CAB=90°,所以弦切角∠BAC的度數(shù)等于它所夾半圓所對(duì)的圓周角度數(shù).
如圖②,AB與⊙O相切于點(diǎn)A,當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時(shí),過點(diǎn)A作直徑AD交⊙O于點(diǎn)D,在上任取一點(diǎn)E,連接EC,ED,EA,則∠CED=∠CAD.
…
任務(wù):
(1)請(qǐng)按照上面的證明思路,寫出該證明的剩余部分;
(2)如圖③,AB與⊙O相切于點(diǎn)A.當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時(shí),請(qǐng)寫出弦切角定理的證明過程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十八大以來,某校已舉辦五屆校園藝術(shù)節(jié).為了弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,每屆藝術(shù)節(jié)上都有一些班級(jí)表演“經(jīng)典誦讀”、“民樂演奏”、“歌曲聯(lián)唱”、“民族舞蹈”等節(jié)目.小穎對(duì)每屆藝術(shù)節(jié)表演這些節(jié)目的班級(jí)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制了如圖所示不完整的折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)五屆藝術(shù)節(jié)共有________個(gè)班級(jí)表演這些節(jié)日,班數(shù)的中位數(shù)為________,在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,第四屆班級(jí)數(shù)的扇形圓心角的度數(shù)為________;
(2)補(bǔ)全折線統(tǒng)計(jì)圖;
(3)第六屆藝術(shù)節(jié),某班決定從這四項(xiàng)藝術(shù)形式中任選兩項(xiàng)表演(“經(jīng)典誦讀”、“民樂演奏”、“歌曲聯(lián)唱”、“民族舞蹈”分別用,,,表示).利用樹狀圖或表格求出該班選擇和兩項(xiàng)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是反比例函數(shù)y=的圖象,當(dāng)-4≤x≤-1時(shí),-4≤y≤-1.
(1)求該反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)M,N分別在該反比例函數(shù)的兩支圖象上,請(qǐng)指出什么情況下線段MN最短(不需要證明),并注出線段MN長度的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三角形ABC中,點(diǎn)D、E分別在AC、AB上,且,AE=BE,則有( )
A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBD
C.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,樓房BD的前方豎立著旗桿AC.小亮在B處觀察旗桿頂端C的仰角為45°,在D處觀察旗桿頂端C的俯角為30°,樓高BD為20米.
(1)求∠BCD的度數(shù);
(2)求旗桿AC的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為1,∠ABC=120°,E、F、P分別是AB、BC、AC上的動(dòng)點(diǎn),則PE+PF的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,BC=2,AB=AC,點(diǎn)D為上的動(dòng)點(diǎn),且cos∠ABC=.
(1)求AB的長度;
(2)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中,弦AD的延長線交BC延長線于點(diǎn)E,問ADAE的值是否變化?若不變,請(qǐng)求出ADAE的值;若變化,請(qǐng)說明理由;
(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中,過A點(diǎn)作AH⊥BD,求證:BH=CD+DH.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知Rt△ABC中,∠B=90°,BC=4,AB=4,現(xiàn)將△ABC沿BC方向平移到△A′B′C′的位置.若平移的距離為3,則△ABC與△A′B′C′重疊部分的陰影面積為__.
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