Question

【題目】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，點(diǎn)D為上的動(dòng)點(diǎn)，且cos∠ABC＝．

（1）求AB的長(zhǎng)度；

（2）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弦AD的延長(zhǎng)線交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，問(wèn)ADAE的值是否變化？若不變，請(qǐng)求出ADAE的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BD，求證：BH＝CD+DH．

Answer 1

【答案】（1）AB＝；（2）不變，ADAE＝10；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）作AM垂直于BC，由AB＝AC，利用三線合一得到BM等于BC的一半，再由cos∠ABC的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長(zhǎng)即可；

（2）連接DC，由等邊對(duì)等角得到∠ACB＝∠ABC，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC＝∠ACE，然后證明△EAC∽△CAD，由相似得比例求出所求即可；

（3）在BD上取一點(diǎn)N，使得BN＝CD，利用SAS得到△ABN≌△ACD，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等和等腰三角形的性質(zhì)求出NH＝HD即可得出結(jié)論．

解：（1）作AM⊥BC，

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BM＝BC＝1，

∵cos∠ABC＝，

∴AB＝；

（2）連接DC，

由（1）知AB＝AC＝，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∵∠ACE+∠ACB＝180°，

∴∠ADC＝∠ACE，

∵∠CAE＝∠DAC，

∴△EAC∽△CAD，

∴，

∴ADAE＝AC2＝10；

（3）在BD上取一點(diǎn)N，使得BN＝CD，

在△ABN和△ACD中，，

∴△ABN≌△ACD（SAS），

∴AN＝AD，

∵AH⊥BD，

∴NH＝HD，

∵BN＝CD，NH＝HD，

∴BN+NH＝CD+HD，

即BH＝CD+DH．