Question

20．如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，BE=EC，將正方形邊CD沿DE折疊到DF，延長EF交AB于G，連接DG，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽BEF；④S_△BEF=$\frac{72}{5}$．在以上4個(gè)結(jié)論中，其中一定成立的是①②④（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根據(jù)“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE為直角三角形，可通過勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，進(jìn)而求出△BEF的面積，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED顯然不是等腰三角形，判斷③是錯(cuò)誤的．

解答 解：由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正確；
∵正方形邊長是12，
∴BE=EC=EF=6，
設(shè)AG=FG=x，則EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG²=BE²+BG²，
即：（x+6）²=6²+（12-x）²，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正確；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③錯(cuò)誤；
S△GBE=$\frac{1}{2}$×6×8=24，S△BEF=$\frac{EF}{EG}$•S△GBE=$\frac{6}{10}$×24=$\frac{72}{5}$，④正確；
故答案為：①，②，④．

點(diǎn)評 本題綜合性較強(qiáng)，考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計(jì)算，有一定的難度．