Question

已知，如圖，矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AE．

（1）求證：AD=DF；

（2）若AD=3，AE⊥BE，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）根據(jù)E是CD的中點(diǎn)，BC∥AF可確定EF=EB，從而得出△EBC≌△EFD，繼而得出結(jié)論．

（2）由（1）得出的EF=EB，結(jié)合AE⊥BE可得AB=AF，從而根據(jù)AD=3可得出答案．

【解答】解：（1）∵BC∥AF，E是CD的中點(diǎn)，

∴E是線段FB的中點(diǎn)，

∴FE=EB，

又∠FED=∠BEC，DE=EC，

∴△EBC≌△EFD，

∴AD=DF．

 

（2）由（1）得：EF=EB，

又AE⊥BE，

∴AB=AF（中垂線的性質(zhì)）

∴AB=AF=2AD=6．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，有一定的難度，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出E是FB的中點(diǎn)，這是本題的突破口．