【題目】四邊形ABCD為菱形,點(diǎn)P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)如圖1,連接AP并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接 PC,求證:∠AEB=∠PCD.
(2)如圖1,當(dāng)PA=PD且PC⊥BE時(shí),求∠ABC的度數(shù).
(3)連接AP并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)E,連接 PC,若∠ABC=90°且ΔPCE是等腰三角形,求得∠PEC的度數(shù) (第(3)問 直接寫出結(jié)果,不寫過程)
【答案】(1)證明見解析;(2)60°;(3)30°或120°
【解析】試題分析:(1)利用菱形的性質(zhì),易得∠PDA=∠PDC,AD=CD,利用SAS定理證得△PAD≌△PCD,由全等三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到結(jié)論;
(2)首先利用等腰三角形的性質(zhì)得∠PAD=∠PDA,設(shè)∠PAD=∠PDA=x,利用外角性質(zhì)易得∠BPC=2x,因?yàn)?/span>PC⊥BE,得x,得∠ABC的度數(shù);
(3)分類討論:①當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),首先利用等腰三角形的性質(zhì)得CP=CE,易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP,由正方形的性質(zhì)得∠PBA=∠PBC=45°,由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP,易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP,因?yàn)椤?/span>BAP+∠PEC=90°,求得∠PEC的度數(shù);②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),同理得出結(jié)論.
試題解析:(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠PDA=∠PDC,AD=CDAD∥BC,
在△PAD與△PCD中,
,
∴△PAD≌△PCD(SAS),
∴∠PAD=∠PCD,
又∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠PAD=∠PCD;
(2)如圖1,
∵PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA,
設(shè)∠PAD=∠PDA=x,則∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x,
∵PC⊥BE,
∴2x+x=90°,
∴x=30°,
∴∠ABC=2x=60°;
(3)①當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2,
△PCE是等腰三角形,則CP=CE,
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=90°,
∴菱形ABCD是正方形,
∴∠PBA=∠PBC=45°,
在△ABP與△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP,
∵∠BAP+∠PEC=90°,2∠PEC+∠PEC=90°,
∴∠PEC=30°;
②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),如圖3,
△PCE是等腰三角形,則PE=CE,
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP,
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=90°
∴菱形ABCD是正方形,
∴∠PBA=∠PBC=45°,又AB=BC,BP=BP,
∴△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∵∠BAP+∠AEB=90°,2∠BCP+∠BCP=90°,
∴∠BCP=30°,
∴∠AEB=60°,
∴∠PEC=180°∠AEB=120°,
綜上所述:∠PEC=30°或∠PEC=120°.
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年人均收入 | 10500 | 10700 | 10800 | 10900 | 11500 |
村莊個(gè)數(shù) | 1 | 1 | 3 | 3 | 1 |
該鄉(xiāng)去年各村莊年人均收入的中位數(shù)是( 。
A. 10700 B. 10800 C. 10850 D. 10900
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B.0.106×106m
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