Question

已知一個直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一邊PN與正方形ABCD的一邊AD重合（如圖放置在正方形內(nèi)）把三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，使點M落在直線BC上一點F處，則CF的長為

（2

3

-2）或（2

3

+2）

．

Answer 1

分析：解直角三角形求出正方形的邊長AD的長度，然后分①點F在BC上，點N不在BC上時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=AM，A然后利用“HL”證明Rt△ABF和Rt△ADM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=DM，從而得到CF=CM，然后求解即可；②點F、B都在直線BC上時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BF=DM，然后根據(jù)CF=BC+BF計算即可得解．

解答：解：∵∠MPN=30°，MN=2，
∴AD=MN•cot∠MPN=2×cot30°=2×

3

=2

3

，
①如圖1，當(dāng)點F在BC上，點N不在BC上時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)AF=AM，
在Rt△ABF和Rt△ADM中，

AF=AM AN=AB(正方形的邊長)

，
∴Rt△ABF≌Rt△ADM（HL），
∴BF=DM，
又∵BF=BC-CF，DM=CD-CM，
∴CF=CM=CD-DM=2

3

-2；
②如圖2，△PMN繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°時，點F、B都在直線BC上時，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，BF=MN=2，
所以，CF=BC+BF=2

3

+2，
綜上所述，CF的長為（2

3

-2）或（2

3

+2）．
故答案為：（2

3

-2）或（2

3

+2）．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及解直角三角形，難點在于要分△PMN的頂點N不在直線BC上與在直線BC上兩種情況討論求解．