Question

18．已知關(guān)于x的方程x²-2（k+1）x+k²=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁+x₂=3x₁x₂-6，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac的意義得到△≥0，即4（k+1）²-4×1×k²≥0，解不等式即可得到k的范圍；
（2）根據(jù)一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²，則2（k+1）=3k²-6，即3k²-2k-8=0，利用因式分解法解得k₁=2，k₂=-$\frac{4}{3}$，然后由（1）中的k的取值范圍即可得到k的值．

解答 解：（1）∵方程x²-2（k+1）x+k²=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
∴△≥0，即4（k+1）²-4×1×k²≥0，解得k≥-$\frac{1}{2}$，
∴k的取值范圍為k≥-$\frac{1}{2}$；

（2）∵方程x²-2（k+1）x+k²=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²，
∵x₁+x₂=3x₁x₂-6，
∴2（k+1）=3k²-6，即3k²-2k-8=0，
∴k₁=2，k₂=-$\frac{4}{3}$，
∵k≥-$\frac{1}{2}$，
∴k=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系．