Question

【題目】如圖，在□ABCD中，點E、F分別是BC，AD上的點，且BE=DF，對角線AC⊥AB．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）①當E為BC的中點時，求證：四邊形AECF是菱形；

②若AB=6，BC=10，當BE長為　 　時，四邊形AECF是矩形．

③四邊形AECF有可能成為正方形嗎？答： ．（填“有”或“沒有”）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析，②3.6，③沒有

【解析】試題分析: (1)首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC,AD=BC,再證明AF=EC,可證明四邊形AECF是平行四邊形;

(2) ①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE=CB=5,然后再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;

②由矩形的性質(zhì)得出∠AEC=∠AEB=90°，證出△ABE∽△CBA，得出對應邊成比例，即可求出BE的長；

③根據(jù)正方形的判定即可得出.

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵BE=DF，∴AF=EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：①∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，

∵E為BC的中點，∴AE=CE，

∵四邊形AECF是平行四邊形，

∴四邊形AECF為菱形，

②∠AEC=90°，

∴∠AEB=90°=∠BAC，

∵∠B=∠B，

∴△ABE∽△CBA，

∴，

∴BE=；

故答案為：3.6；

③沒有；