Question

【題目】如圖所示，將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象．函數(shù)y=x2+2x+1的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)A．函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)C，兩函數(shù)圖象分別交于B、D兩點(diǎn)．

（1）求函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；

（2）如圖2，連接AD、CD、BC、AB，判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．

（3）如圖3，連接BD，點(diǎn)M是y軸上的動點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使以B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+5；（2）四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析；（3）存在，點(diǎn)N坐標(biāo)為(，)或(，)或(3，2)或(﹣3，2)．

【解析】

(1)由軸對稱和平移的性質(zhì)可求解；
(2)分別求出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式可求AB，CD，AD，BC，AC，BD的長，由兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABCD是平行四邊形；
(3)分兩種情況討論，利用矩形的性質(zhì)，可求解．

(1)∵y=x2+2x+1=(x+1)2，且將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個單位，再向上平移5個單位，

∴y=﹣(x+1﹣1)2+5=﹣x2+5；

(2)四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：

∵y=﹣x2+5的頂點(diǎn)為點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，5)．

∵函數(shù)y=x2+2x+1的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，

∴點(diǎn)A(﹣1，0)，

聯(lián)立方程組可得：，

∴ 或 ，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣2，1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，4)．

∵點(diǎn)D(﹣2，1)，點(diǎn)B(1，4)，點(diǎn)A(﹣1，0)，點(diǎn)C(0，5)，

∴，

同理可求得：CD=，AD=，BC=，AC=，BD=3，

∴AB=CD，AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

(3)存在，

設(shè)點(diǎn)N(x，y)

若BD為矩形的邊，四邊形BDMN是矩形時．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣2，1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，4)，

設(shè)直線BD解析式為：，

∴，

解得：，

∴直線BD解析式為：y=x+3，

∵DM⊥BD，

∴設(shè)直線DM的解析式為，

將點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣2，1)代入得：，

解得：，

∴直線DM的解析式為y=﹣x﹣1，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，﹣1)．

∵BM與DN互相平分，

∴，，

∴x=3，y=2，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，2)；

若BD為矩形的邊，四邊形BDNM是矩形時．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣2，1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，4)，直線BD解析式為：y=x+3，

∵BM⊥BD，

∴設(shè)直線BM的解析式為，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，4)代入得：，

解得：，

∴直線BM的解析式為y=﹣x+5，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，5)．

∵BN與DM互相平分，

∴，，

∴x=﹣3，y=2，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣3，2)；

若BD為對角線．

∵點(diǎn)D、B、N的坐標(biāo)分別為(﹣2，1)， (1，4)， (x，y)，

點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為0，設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，

∵BD與MN互相平分，

∴，，

∴，，

點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，5﹣y)，

∵BD=MN，

∴

整理得：

解得：，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)或(，)，

綜上所述：點(diǎn)N坐標(biāo)為(，)或(，)或(3，2)或(﹣3，2)．