【題目】(1)已知:如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,延長(zhǎng)BC至E.求證:∠A+∠BCD=180°,∠DCE=∠A.
(2)依已知條件和(1)中的結(jié)論:
①如圖2,若點(diǎn)C在⊙O外,且A、C兩點(diǎn)分別在直線BD的兩側(cè).試確定∠A+∠BCD與180°的大小關(guān)系;
②如圖3,若點(diǎn)C在⊙O內(nèi),且A、C兩點(diǎn)分別在直線BD的兩側(cè).試確定∠A+∠BCD與180°的大小關(guān)系.
【答案】(1)見解析;(2)①∠A+∠BCD<180°,②∠A+∠BCD>180°.
【解析】
(1)連接AC,BD,由同弧所對(duì)的圓周角相等與四邊形的內(nèi)角和為360°,即可證得∠A+∠BCD=180°;又由同角的補(bǔ)角相等,求得∠DCE=∠A;
(2)根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)與三角形的外角的性質(zhì),即可證得結(jié)論.
(1)證明:連結(jié)AC,BD,
∴∠CAD=∠CBD,∠ABD=∠ACD,∠ADB=∠ACB,∠BAC=∠BDC,
∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°,
∴∠CAD+∠BAC+∠ABD+∠CBD+∠ACB+∠ACD+∠ADB+∠BDC=360°,
∴∠CAD+∠BAC+∠ACB+∠ACD=180°,
即∠BAD+∠BCD=180°,
又∵∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠DCE=∠BAD.
(2)解:①設(shè)BC與⊙O交于點(diǎn)E,連結(jié)DE,
∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠A+∠BED=180°,
又∵∠BED=∠CDE+∠BCD,
∴∠BED>∠BCD,
∴∠A+∠BCD<180°.
②延長(zhǎng)DC交⊙O于點(diǎn)E,連結(jié)BE,
∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠A+∠BED=180°,
又∵∠BCD=∠CBE+∠BED,
∴∠BCD>∠BED,
∴∠A+∠BCD>180°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解本校九年級(jí)學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試情況,在九年級(jí)隨機(jī)抽取了一部分學(xué)生 的期末數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)闃颖,分?/span> A(90~100 分);B(80~89 分);C(60~79 分);D(0~59 分)四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答以下 問題.
(1)這次隨機(jī)抽取的學(xué)生共有多少人?
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)這個(gè)學(xué)校九年級(jí)共有學(xué)生 1200 人,若分?jǐn)?shù)為 80 分(含 80 分)以上為優(yōu)秀,請(qǐng)估 計(jì)這次九年級(jí)學(xué)生期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)大約有多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請(qǐng)說明理由;
(2)性質(zhì)探究:如圖1,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AC⊥BD.試證明:AB2+CD2=AD2+BC2;
(3)解決問題:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連結(jié)CE、BG、GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)D,連接AD(AD<AB),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連接DE,CE,BD.
(1)請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖①;
(2)猜測(cè)BD和CE的數(shù)量關(guān)系并證明;
(3)作射線BD,CE交于點(diǎn)P,把△ADE饒點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠EAC=90°,AB=3,AD=2時(shí),補(bǔ)全圖形,直接寫出PB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且∠EAC=∠B,以DE為直徑的半圓交AD于點(diǎn)F,交AE于點(diǎn)M.
(1)判斷AF與DF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)只用無刻度的直尺畫出△ADE的邊DE上的高AH(不要求寫做法,保留作圖痕跡) .
(3)若EF=8,DF=6,求DH的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,有下列5個(gè)結(jié)論:①abc>0;②b-a>c:③4a+2b+c>0;④3a>-c;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的實(shí)數(shù)).其中結(jié)論正確的有( )
A. ①②③
B. ②③⑤
C. ②③④
D. ③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的位置如圖所示(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn))
(1)請(qǐng)畫出△ABC向右平移2單位再向下平移3個(gè)單位的格點(diǎn)△A1B1C1
(2)畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2并求出旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B到B2所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每位同學(xué)都能感受到日出時(shí)美麗的景色.下圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的畫面,“圖上”太陽與海平線交于A﹑B兩點(diǎn),他測(cè)得“圖上”圓的半徑為5厘米,AB=8厘米,若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海面的時(shí)間為16分鐘,求“圖上”太陽升起的速度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在同一平面內(nèi),兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通,其中AB段與高速公路l1成30°角,長(zhǎng)為20km;BC段與AB、CD段都垂直,長(zhǎng)為10km,CD段長(zhǎng)為30km,求兩高速公路間的距離(結(jié)果保留根號(hào)).
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