Question

【題目】如圖，在 中， ， ， ， ， 的平分線相交于點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn) 作 交 于點(diǎn) ，則 的長(zhǎng)為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解 ：如圖，延長(zhǎng)FE交AB于點(diǎn)D，作EG⊥BC于點(diǎn)G，作EH⊥AC于點(diǎn)H ，

∵EF∥BC、∠ABC=90，
∴FD⊥AB，
∴∠EDB=90°
∵EG⊥BC，
∴∠EGB=90°
∴四邊形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，F(xiàn)D⊥AB，EG⊥BC，EH⊥AC;
∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，
∴四邊形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵∠DAE=∠HAE ,AE=AE ,∠ADE=∠AHE，
∴△DAE≌△HAE，
∴AD=AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG=CH，
設(shè)BD=BG=x，則AD=AH=6x、CG=CH=8x，
∵AC=，
∴6x+8x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=2，AD=4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴AD∶AB=DF∶BC,即4∶6=DF∶8，
解得：DF=，
則EF=DFDE=2=，
故選：C.
如圖，延長(zhǎng)FE交AB于點(diǎn)D，作EG⊥BC于點(diǎn)G，作EH⊥AC于點(diǎn)H ,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出 ∠EDB=90°，根據(jù)垂直的定義得出 ∠EGB=90°，根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，得出四邊形BDEG是矩形， 根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形得出四邊形BDEG是正方形，然后利用AAS判斷出△DAE≌△HAE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出AD=AH，同理得出CG=CH，根據(jù)勾股定理得出AC的長(zhǎng)，設(shè)BD=BG=x，則AD=AH=6x、CG=CH=8x，進(jìn)而根據(jù)線段的和差得出方程6x+8x=10，求解得出x的值，進(jìn)而得出BD=DE=2，AD=4，根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所截得的三角形與原三角形相似得出△ADF∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出AD∶AB=DF∶BC,即4∶6=DF∶8，從而得出DF的長(zhǎng)，根據(jù)EF=DFDE算出結(jié)果。