Question

如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于O，DE垂直平分OC，若AD=4，求AB，AC，DE的長．

Answer 1

分析：根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得出DC=DO，根據(jù)矩形性質(zhì)得出OA=OC=OD=OB，得出等邊三角形DOC，推出DC=OC=OD，推出AC=2DC，根據(jù)勾股定理求出DC，AC，在Rt△DEC中，由勾股定理求出DE即可．

解答：解：∵DE垂直平分OC，
∴DC=DO，
∵∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ADC=90°，AC=2OA=2OC，BD=2OD=2OB，AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴△ODC是等邊三角形，
∴DC=OD=OC，∠DCA=60°，
∴AC=2DC，
在Rt△ADC中，AD=4，由勾股定理得：DC²+4²=（2DC）²，
∴DC=

4 3

3

，
∴AC=2OC=2DC=

8 3

3

，AB=DC=

4 3

3

，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°-60°=30°，
∴CE=

1

2

DC=

2 3

3

，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE=

( 4 3 3 )2-( 2 3 3 )2

=2，
即AB=

4 3

3

，AC=

8 3

3

，DE=2．

點(diǎn)評：本題考查了矩形性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．