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【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°， BC∥x軸，拋物線y=ax2－2ax＋3經過△ABC的三個頂點，并且與x軸交于點D、E，點A為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接CD，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P使△PCD為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P1(1，4) P2(1，-2) .

【解析】

試題（1）根據題意知點B的坐標為（0，3）拋物線的對稱軸方程為x=1，所以A點坐標為（1，4），C點坐標為（2，3），由此可求拋物線的解析式.

(2)分兩種情況：CD為直角邊，CD為斜邊進行討論，由勾股定理得到方程即可求出P點坐標.

試題解析：（1）∵y=ax2－2ax＋3

∴它的對稱軸為直線x=

令x=0，則y=3,

∴B（0，3）

根據拋物線的對稱性知：C（2，3），A（1，4）

把A（1，4）代入y=ax2－2ax＋3，得：a=-1

∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

（2）存在.分兩種情況：

（1）當CD為直角邊時，設P（1，a）：

i)當點P在x軸上方時，DP=，CP=，，

∵CD2+CA2=AD2

∴18+2=4+a2

即：a2=16

解得a=±4（負舍去）

∴a=4

ii)當點P在x軸下方時，CD2+DP2=CP2

∴

解得：a=-2

(2)當CD為斜邊時，同理可以得出：a=

綜上所述，點P的坐標分別為：P1(1，4) P2(1，-2)

練習冊系列答案
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【題目】（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.

（2） 如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.

（3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合）,點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀.

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【題目】（2016山東省濟寧市）如圖，O為坐標原點，四邊形OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，sin∠AOB=，反比例函數在第一象限內的圖象經過點A，與BC交于點F，則△AOF的面積等于（　　）

A. 60B. 80C. 30D. 40

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【題目】建立模型：

如圖1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，頂點C在直線l上．

操作：

過點A作AD⊥l于點D，過點B作BE⊥l于點E．求證：△CAD≌△BCE．

模型應用：

（1）如圖2，在直角坐標系中，直線l1：y=x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，將直線l1繞著點A順時針旋轉45°得到l2．求l2的函數表達式．

（2）如圖3，在直角坐標系中，點B（8，6），作BA⊥y軸于點A，作BC⊥x軸于點C，P是線段BC上的一個動點，點Q（a，2a﹣6）位于第一象限內．問點A、P、Q能否構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請求出此時a的值，若不能，請說明理由．

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【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足 = ，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．

（1）求證：△ADF∽△AED；

（2）求FG的長；

（3）求證：tan∠E= ．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】已知過原點O的兩直線與圓心為M（0，4），半徑為2的圓相切，切點分別為P、Q，PQ交y軸于點K，拋物線經過P、Q兩點，頂點為N（0，6），且與x軸交于A、B兩點．

（1）求點P的坐標；

（2）求拋物線解析式；

（3）在直線y=nx+m中，當n=0，m≠0時，y=m是平行于x軸的直線，設直線y=m與拋物線相交于點C、D，當該直線與⊙M相切時，求點A、B、C、D圍成的多邊形的面積（結果保留根號）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經

過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封

閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，），點M是拋物線C2：（＜0）的頂點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當△BDM為直角三角形時，求的值．

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【題目】如圖，四邊形ABDC中，，點O為BD的中點，且OA平分．

（1）求證：OC平分；

（2）求證：；

（3）求證：AB+CD=AC．

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【題目】在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，在AB上取一點E，使得EA=ED.

（1）求證：DE∥AC；

（2）若ED=EB，BD=2，EA=3，求AD的長.

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