Question

等腰Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D和E為邊BC上的點(diǎn)，且∠DAE=45°，△ADE的外接圓分別交邊AB和AC于點(diǎn)P和Q，求證：BP+CQ=PQ．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心,等腰三角形的性質(zhì),梯形中位線定理

專題：證明題

分析：連接OD，過Q作AC的垂線，設(shè)交BC于F點(diǎn)，則可以證明四邊形BPQF是梯形，而OD即半徑是中位線．O已經(jīng)是中點(diǎn)，只要證明OD平行于AB即可，由圓周角定理，兩直線平行的判定定理（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），而OD即半徑是中位線，那么可證得．再就是證明CQ=FQ，不難證明△CQF是等腰直角三角形．

解答：證明：設(shè)O是△ADE外心，則O是PQ中點(diǎn)，PQ是直徑．
連接PD、OD、OE，過Q作AC的垂線交BC于點(diǎn)F，連接PE，則四邊形PBFQ是梯形，
∵△ABC中是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，∠C=45°，
∴△CQF是等腰直角三角形，
∴CQ=QF，
∵∠DAC與∠DOE分別是同弧DE所對(duì)的圓周角與圓心角，且∠DAE=45°，
∴∠DOE=2∠DAC=90°，
∴∠ODE=45°，
∴OD∥AB（同位角相等，兩直線平行），
∴線段OD是梯形PBFQ的中位線，
∴PQ=2OD=BP+QF，
∴BP+CQ=PQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外接圓與外心、等腰直角三角形的性質(zhì)、梯形中位線的定理．解決本題的關(guān)鍵是通過添加輔助線，構(gòu)造梯形PBFQ，在梯形中建立起B(yǎng)Q、CQ、PQ間的聯(lián)系，利用梯形中位線定理解決．