Question

16．如圖，AB為⊙O的直徑，點C是$\widehat{AB}$上一點，點D為$\widehat{AC}$的中點，弦AC、BD交于點E，F為BD延長線上一點，且FA是⊙O的切線，
（1）求證：AF=AE；
（2）若⊙O的半徑為4，AF=6，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由∴∠AED+∠ODE=90°，∠F+∠B=90°，根據等角的余角相等即可判定∠F=∠AEF．
（2）求出ED，EB，根據相交弦定理即可解決問題．

解答 （1）證明：連接OD．
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，
∴OD⊥AC，
∴∠AED+∠ODE=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∴∠B+∠AED=90°，
∴AF是⊙O切線，
∴OA⊥AF，
∴∠FAB=90°，
∴∠F+∠B=90°，
∴∠F=∠AEF，
∴AF=AE．
（2）解：連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥EF，
∵AF=AE=6，
∴DF=DE，
在RT△ABC中，∵∠BAF=90°，AF=6，AB=8，
∴BF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{B}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$AD•BF=$\frac{1}{2}$•AF•AB，
∴AD=$\frac{24}{5}$，DF=DE=$\sqrt{A{F}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，EF=$\frac{36}{5}$，EB=$\frac{14}{5}$，
∵AE•EC=DE•EB，
∴EC=$\frac{\frac{18}{5}×\frac{14}{5}}{6}$=$\frac{42}{25}$．

點評 本題考查切線的性質、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．