Question

【題目】如圖，Rt△ABO的直角邊OB在x軸上，OB＝2，AB＝1，將Rt△ABO繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△CDO，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；

（2）求二次函數(shù)的解析式；

（3）連接AC，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，直線OP把△AOC的周長分成相等的兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣2，1)，C(1，2)；（2）y＝--x+；（3）(4，﹣12)或(﹣1，3)

【解析】

（1）根據(jù)線段OB、AB的長度易得點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

（3）由直線OP把△AOC的周長分成相等的兩部分且OA＝OC，知AQ＝CQ，即點(diǎn)Q為AC的中點(diǎn)，從而得出點(diǎn)Q坐標(biāo)，求得直線OP解析式，聯(lián)立方程可得點(diǎn)P坐標(biāo)．

解：（1）∵OB＝2，AB＝1，

∴A（﹣2，1），

將Rt△ABO繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△CDO，

∴C（1，2），

（2）∵拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，

∴，解得

∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣﹣x+；

（3）設(shè)OP與AC交于點(diǎn)Q，

∵OP將△AOC的周長分成相等的兩部分，又OA＝OC，OQ＝OQ，

∴AQ＝CQ，即Q為AC的中點(diǎn)，

∴Q（﹣，）．

設(shè)直線OP的解析式為y＝kx，把Q（﹣，）代入y＝kx，得＝﹣k，

∴k＝﹣3．

∴直線OP的解析式為y＝﹣3x．

由，得，，

∴P1（4，﹣12），P2（﹣1，3）．