【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點O(0,0),點A(1,0).已知拋物線y=x2+mx﹣2m(m是常數(shù)),頂點為P.
(Ⅰ)當(dāng)拋物線經(jīng)過點A時,求頂點P的坐標(biāo);
(Ⅱ)若點P在x軸下方,當(dāng)∠AOP=45°時,若函數(shù)值y>0,求對應(yīng)自變量x的取值范圍;
(Ⅲ)無論m取何值,該拋物線都經(jīng)過定點H.當(dāng)∠AHP=45°時,求拋物線的解析式.
【答案】(Ⅰ)頂點P(﹣,﹣);(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)值y>0,對應(yīng)自變量x的取值范圍為x<5﹣或x>5+;(Ⅲ)拋物線解析式為y=x2﹣x+或y=x2﹣x+.
【解析】
(Ⅰ)把點A代入拋物線解析式求得m,將拋物線配方成頂點式即求得P的坐標(biāo).
(Ⅱ)由點P在x軸下方,當(dāng)∠AOP=45°得點P在直線y=x上.把拋物線配方得用m表示的點P坐標(biāo),代入y=x即求得m的值.令拋物線y=0解方程求得拋物線與x軸兩交點坐標(biāo),由圖象可知,在拋物線兩側(cè)有函數(shù)值y>0,即得到x的取值范圍.
(Ⅲ)發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時,y=4,所以定點H(2,4).過點AA作AB⊥PH于點B,過點B作DC⊥x軸于點C,過點H作HD⊥CD于點D,構(gòu)造△ABC≌△BHD,利用對應(yīng)邊AC=BD,BC=HD求點B坐標(biāo),再求直線BH解析式,把點用m表示的點P坐標(biāo)代入BH解析式即求得m的值.由于滿足∠AHP=45°的點P可以在AH左側(cè)或右側(cè),故需分情況討論.
(Ⅰ)把A(1,0)代入y=x2+mx﹣2m得:
1+m﹣2m=0,解得:m=1
∴拋物線解析式為y=x2+x﹣2=(x+)2﹣
∴頂點P(﹣,﹣),
(Ⅱ)過P作PH⊥x軸于點H,如圖1
∵點P在x軸下方且∠AOP=45°
∴△POH是等腰直角三角形,P在第四象限
∴OH=PH,
∵y=x2+mx﹣2m=(x+)2﹣﹣2m
∴P(﹣,﹣﹣2m)(m<0)
∴﹣=+2m
解得:m1=0(舍去),m2=﹣10
∴拋物線解析式為y=x2﹣10x+20
當(dāng)y=0時,解得:x1=5﹣,x2=5+
由圖象可知,當(dāng)函數(shù)值y>0,對應(yīng)自變量x的取值范圍為x<5﹣或x>5+.
(Ⅲ)當(dāng)x=2時,y=4+2m﹣2m=4
∴無論m取何值,該拋物線都經(jīng)過定點H(2,4)
過點A作AB⊥PH于點B,過點B作DC⊥x軸于點C,過點H作HD⊥CD于點D,
∴∠ABH=∠ACB=∠BDH=90°
∴∠ABC+∠DBH=∠ABC+∠BAC=90°
∴∠BAC=∠DBH
∵∠AHP=45°
∴△ABH是等腰直角三角形,AB=BH
在△ABC與△BHD中
∴△ABC≌△BHD(AAS)
∴AC=BD,BC=HD
設(shè)點B坐標(biāo)為(a,b)
①若點P在AH左側(cè),即點B在AH左側(cè),如圖2
∴AC=1﹣a,BC=b,BD=4﹣b,DH=2﹣a
∴ 解得:
∴點B(﹣,)
設(shè)直線BH解析式為y=kx+h
∴ 解得:
∴直線BH:y=x+
∵點P(﹣,﹣﹣2m)在直線BH上
∴(﹣)+=﹣﹣2m
解得:m1=﹣,m2=﹣4
∵m=﹣4時,P(2,4)與點H重合,要舍去
∴拋物線解析式為y=x2﹣x+,
②若點P在AH右側(cè),即點B在AH右側(cè),如圖3
∴AC=a﹣1,BC=b,BD=4﹣b,DH=a﹣2
∴ 解得:
∴點B(,)
設(shè)直線BH解析式為y=kx+h
∴ 解得:
∴直線BH:y=﹣x+
∵點P(﹣,﹣﹣2m)在直線BH上
∴﹣×(﹣)+=﹣﹣2m
解得:m1=﹣,m2=﹣4(舍去)
∴拋物線解析式為y=x2﹣x+
綜上所述,拋物線解析式為y=x2﹣x+或y=x2﹣x+.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在 RtABC 中, ACB 90 , AC 6 , BC 12 ,點 D 在邊 BC 上,點 E在線段 AD 上, EF AC 于點 F , EG EF 交 AB 于點 G .若 EF EG ,則 CD 的長為____________
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點A、B、C、D分別是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點,拋物線的解析式為y=x2﹣6x﹣16,AB為半圓的直徑,則這個“果圓”被y軸截得的線段CD的長為_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABO的直角邊OB在x軸上,OB=2,AB=1,將Rt△ABO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△CDO,拋物線y=﹣+bx+c經(jīng)過A,C兩點.
(1)求點A,C的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)連接AC,點P是拋物線上一點,直線OP把△AOC的周長分成相等的兩部分,求點P的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游團(tuán)到永定土樓觀光,計劃購買A型、B型兩種型號的土樓模型.若購買8個A型土樓模型和5個B型土樓模型需用1540元;若購買4個A型土樓模型和6個B型土樓模型需用1120元.求A,B兩種型號土樓模型的單價分別是多少元.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,為邊的高,點在軸上,點在軸上,點在第一象限,若從原點出發(fā),沿軸向右以每秒1個單位長的速度運動,則點隨之沿軸下滑,并帶動在平面內(nèi)滑動,設(shè)運動時間為秒,當(dāng)到達(dá)原點時停止運動
(1)連接,線段的長隨的變化而變化,當(dāng)最大時,______.
(2)當(dāng)的邊與坐標(biāo)軸平行時,______.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對稱軸為x=1,與y軸交于點C,與x軸交于點A、點B(﹣1,0),則
①二次函數(shù)的最大值為a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④當(dāng)y>0時,﹣1<x<3,其中正確的個數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,把繞著點順時針方向旋轉(zhuǎn)角度(),得到,若,,三點在同一條直線上,,則的度數(shù)是___________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x﹣2與x軸交于點B,與y軸交于點A,拋物線y=ax2﹣x+c經(jīng)過A,B兩點,與x軸的另一交點為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)M為拋物線上一點,直線AM與x軸交于點N,當(dāng)時,求點M的坐標(biāo);
(3)P為拋物線上的動點,連接AP,當(dāng)∠PAB與△AOB的一個內(nèi)角相等時,直接寫出點P的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com