【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于點O,OE⊥AB于點E,以點O為圓心,OE為半徑作半圓,交AO于點F.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若點F是OA的中點,OE=3,求圖中陰影部分的面積;
(3)在(2)的條件下,點P是BC邊上的動點,當(dāng)PE+PF取最小值時,直接寫出BP的長.
【答案】(1)詳見解析;(2);(3)當(dāng)PE+PF取最小值時,BP的長為.
【解析】
(1)作OH⊥AC于H,如圖,利用等腰三角形的性質(zhì)得AO平分∠BAC,再根據(jù)角平分線性質(zhì)得OH=OE,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;
(2)先確定∠OAE=30°,∠AOE=60°,再計算出AE=3,然后根據(jù)扇形面積公式,利用圖中陰影部分的面積=S△AOE-S扇形EOF進(jìn)行計算;
(3)作F點關(guān)于BC的對稱點F′,連接EF′交BC于P,如圖,利用兩點之間線段最短得到此時EP+FP最小,通過證明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值為3,然后計算出OP和OB得到此時PB的長.
(1)證明:作OH⊥AC于H,如圖,
∵AB=AC,AO⊥BC于點O,
∴AO平分∠BAC,
∵OE⊥AB,OH⊥AC,
∴OH=OE,
∴AC是⊙O的切線;
(2)∵點F是AO的中點,
∴AO=2OF=6,
而OE=3,
∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,
∴AE=OE=3,
∴圖中陰影部分的面積=S△AOE﹣S扇形EOF=×3×3﹣;
(3)作F點關(guān)于BC的對稱點F′,連接EF′交BC于P,如圖,
∵PF=PF′,
∴PE+PF=PE+PF′=EF′,此時EP+FP最小,
∵OF′=OF=OE,
∴∠F′=∠OEF′,
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°,
∴∠F′=30°,
∴∠F′=∠EAF′,
∴EF′=EA=3,
即PE+PF最小值為3,
在Rt△OPF′中,OP=OF′=,
在Rt△ABO中,OB=OA=×6=2,
∴BP=2﹣=,
即當(dāng)PE+PF取最小值時,BP的長為.
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【題目】如圖,已知A(3,m),B(﹣2,﹣3)是直線AB和某反比例函數(shù)的圖象的兩個交點.
(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;
(2)觀察圖象,直接寫出當(dāng)x滿足什么范圍時,直線AB在雙曲線的下方;
(3)反比例函數(shù)的圖象上是否存在點C,使得△OBC的面積等于△OAB的面積?如果不存在,說明理由;如果存在,求出滿足條件的所有點C的坐標(biāo).
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【題目】有一個圓形轉(zhuǎn)盤,分黑色、白色兩個區(qū)域.
(1)某人轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,對指針落在黑色區(qū)域或白色區(qū)域進(jìn)行了大量試驗,得到數(shù)據(jù)如下表:
實驗次數(shù)(次) | 10 | 100 | 2000 | 5000 | 10000 | 50000 | 100000 |
白色區(qū)域次數(shù)(次) | 3 | 34 | 680 | 1600 | 3405 | 16500 | 33000 |
落在白色區(qū)域頻率 | 0.3 | 0.34 | 0.34 | 0.32 | 0.34 | 0.33 | 0.33 |
請你利用上述實驗,估計轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤指針落在白色區(qū)域的概率為___________.(精確到0.01);
(2)若該圓形轉(zhuǎn)盤白色扇形的圓心角為120度,黑色扇形的圓心角為,轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次,求指針一次落在白色區(qū)域,另一次落在黑色區(qū)域的概率.
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【題目】將一張正方形紙片按如圖步驟,通過折疊得到圖④,再沿虛線剪去一個角,展開鋪平后得到圖⑤,其中是折痕.若正方形與五邊形的面積相等,則的值是( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的頂點C是的中點,點D在OB上,點E在OB的延長線上,當(dāng)正方形CDEF的邊長為2時,陰影部分的面積為________
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【題目】已知拋物線y=x2+(2m﹣1)x﹣2m(m>0.5)的最低點的縱坐標(biāo)為﹣4.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,D為拋物線上的一點,BD平分四邊形ABCD的面積,求點D的坐標(biāo);
(3)如圖2,平移拋物線y=x2+(2m﹣1)x﹣2m,使其頂點為坐標(biāo)原點,直線y=﹣2上有一動點P,過點P作兩條直線,分別與拋物線有唯一的公共點E、F(直線PE、PF不與y軸平行),求證:直線EF恒過某一定點.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=10,AC=16,點M是對角線AC上的一個動點,過點M作PQ⊥AC交AB于點P,交AD于點Q,將△APQ沿PQ折疊,點A落在點E處,當(dāng)△BCE是等腰三角形時,AP的長為_____.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),與y軸的交點B在(0,﹣2)和C(0,﹣1)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=1,下列結(jié)論:①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac﹣b2<8a;④;⑤b<c.其中含所有正確結(jié)論的選項是_____.
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