Question

已知：如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，∠A=36°，AC=BC，AC²=AB•AD．
（1）試說明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）若AB=1，求AC的值；
（3）請你構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，使得該梯形連同它的兩條對角線得到8個(gè)等腰三角形．（標(biāo)明各角的度數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的判斷（等角對等邊），通過證明△ABC∽△CAD得出對應(yīng)角相等得出△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）由（1）知BD=BC=AC，及AC²=AB•AD，可以求AC的值；
（3）利用36°，72°，108°角的特殊關(guān)系，設(shè)計(jì)等腰梯形，滿足題意．

解答：（1）證明：∵∠A=36°，AC=BC，
∴∠B=∠A=36°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=108°，
∵AC²=AB•AD，
∴AC：AB=AD：AC，
∵∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B=36°，
∴AD=CD，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=72°，
∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BC=BD，
即：△ADC和△BDC都是等腰三角形；

（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD=∠B=36°，
∴∠BCD=∠A+∠ACD=72°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=108°-36°=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC，
∵AC=BC，
∴AC=BC=BD，
設(shè)AC=x，
則BC=BD=x，AD=1-x，
∵AC²=AB•AD，
∴x²=1-x，
解得：x=

5 -1

2

或x=

- 5 -1

2

（舍去），
∴AC的值為

5 -1

2

．

（3）如圖．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)線段相等，判斷角的相等關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用．