Question

5．已知反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象在二四象限，一次函數為y=kx+b（b＞0），直線x=1與x軸交于點B，與直線y=kx+b交于點A，直線x=3與x軸交于點C，與直線y=kx+b交于點D．
（1）若點A，D都在第一象限，求證：b＞-3k；
（2）在（1）的條件下，設直線y=kx+b與x軸交于點E與y軸交于點F，當$\frac{ED}{EA}$=$\frac{3}{4}$且△OFE的面積等于$\frac{27}{2}$時，求這個一次函數的解析式，并直接寫出不等式$\frac{k}{x}$＞kx+b的解集．

Answer 1

分析 （1）由反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象在二四象限，得到k＜0，于是得到一次函數為y=kx+b隨x的增大而減小，根據A，D都在第一象限，得到不等式即可得到結論；
（2）根據題意得到$\frac{3k+b}{k+b}=\frac{3}{4}$，由三角形的面積公式得到S_△OEF=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{k}$）×b=$\frac{27}{2}$聯立方程組解得k=-$\frac{1}{3}$，b=3，即可得到結論．

解答 解：（1）證明：∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象在二四象限，
∴k＜0，
∴一次函數為y=kx+b隨x的增大而減小，
∵A，D都在第一象限，
∴3k+b＞0，
∴b＞-3k；

（2）由題意知：$\frac{ED}{EA}=\frac{CD}{AB}$，
∴$\frac{3k+b}{k+b}=\frac{3}{4}$   ①，
∵E（-$\frac{k}$，0），F（0，b），
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{k}$）×b=$\frac{27}{2}$   ②，
由①②聯立方程組解得：k=-$\frac{1}{3}$，b=3，
∴這個一次函數的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+3，
解-$\frac{1}{3x}$=-$\frac{1}{3}$x+3得x₁=$\frac{9-\sqrt{85}}{2}$，x₂=$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$，
∴直線y=kx+b與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的交點坐標的橫坐標是$\frac{9-\sqrt{85}}{2}$或$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$，
∴不等式$\frac{k}{x}$＞kx+b的解集為$\frac{9-\sqrt{85}}{2}$＜x＜0或x＞$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數和一次函數的性質，求函數的解析式，三角形面積公式的應用，熟練掌握反比例函數和一次函數的性質是解題的關鍵．