Question

（2013•贛州模擬）如圖，Rt△OAB在平面直角坐標系，直角頂點B在x軸的正半軸上，已知∠OBA=90°，OB=3，sin∠AOB=

4

5

．反比例函數(shù)P（x＞0）的圖象經(jīng)過點A．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點C（m，2）是反比例函數(shù)B（x＞0）圖象上的點．
①在x軸上是否存在點P，使得PA+PC最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
②在x軸上是否存在點Q，使得QA與QC的差最大？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式即可；
（2）①首先求得點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標，然后求得直線A′C的解析式后求得其與x軸的交點即可求得點P的坐標；
②求得直線AC的解析式后求得直線AC與x軸的交點坐標即可求得點Q的坐標．

解答：解：（1）∵∠OBA=90°，sin∠AOB=

4

5

，可設(shè)AB=4a，OA=5a，
∴OB=

(5a)2-(4a)2

=3a，又OB=3，
∴a=1，
∴AB=4，
∴點A的坐標為（3，4），
∵點A在其圖象上，
∴4=

k

3

k=12；
∴比例函數(shù)的解析式為y=

12

x

(x＞0)；            

（2）∵點C（m，2）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象上的點，k=12，
∴2=

12

m

，
∴m=6，即點C的坐標為（6，2）；      
①在x軸上存在點P，使得PA+PC最小．理由如下：由點A（3，4）可知它關(guān)于
軸的對稱點為A'（3，-4），設(shè)直線A'C的解析式為：y=k₁x+b₁，
∵A'（3，-4）與（6，2）在其圖象上，

-4=3k1+b1 2=6k1+b1

，
解得

k1=2 b1=-10.

∴直線A'C的解析式為：y=2x-10，
設(shè)y=0，可知x=5，
∴P（5，0）可使PA+PC最�。�
②在x軸上存在點Q，使得線段QA與QC的差最大．理由如下：
設(shè)直線AC的解析式為：y=k₂x+b₂，
∵A（3，4）與C（6，2）在其圖象上，

4=3k2+b2 2=6k2+b2

，
解得

k2=- 2 3 b2=6.

∴直線AC的解析式為：y=-

2

3

x+6，
設(shè)y=0，可知x=9，
∴Q（9，0）可使線段QA與QC的差最大．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識，特別是第二題中求兩條線段的和的最大值更是中考的熱點考題之一．