Question

10．如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對角線AC折疊，點B落在點E處，CE與AD相交于點O．
（1）求證：AO=CO；
（2）若∠OCD=30°，AB=$\sqrt{3}$，求△AOC的面積．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明∠DAC=∠ECA，即可得到AO=CO；
（2）首先求出AO，CO的長，再由三角形面積公式計算即可．

解答 （1）證明：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
又由折疊可知：∠BCA=∠ECA，
∴∠DAC=∠ECA，
∴OA=OC；
（2）在Rt△COD中，∠D=90°∠OCD=30°
∴OD=$\frac{1}{2}$OC，
又∵AB=CD=$\sqrt{3}$，
∴（$\frac{1}{2}$OC）²=OC²-（$\sqrt{3}$）²，
∴OC=2，
∴AO=OC=2，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$AO•CD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)以及翻折變換的性質(zhì)，熟記矩形的各種性質(zhì)以及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．