【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,OC OD,OC OD ,DC 的延長線交 y 軸正半軸上點(diǎn) B ,過點(diǎn)C 作CA BD 交 x 軸負(fù)半軸于點(diǎn)A .
(1)如圖1,求證:OAOB
(2)如圖1,連AD,作OM ∥AC交AD于點(diǎn)M,求證: BC 2OM
(3)如圖2,點(diǎn)E為OC 的延長線上一點(diǎn),連DE,過點(diǎn)D作DFDE且DF DE ,連CF 交 DO 的延長線于點(diǎn)G 若OG 4,求CE 的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)CE=OT=8.
【解析】
(1)由OC⊥OD,CA⊥BD知∠COD=∠BCA=∠AOB=90°,從而得∠AOC=∠BOD,∠OBD=∠OAC,結(jié)合OC=OD證△AOC≌△BOD可得答案;
(2)作AN∥OD,交OM延長線于點(diǎn)N,先證△BOC≌△OAN得BC=ON,AN=OC=OD,再證△AMN≌△DMO得OM=MN=ON,從而得證;
(3)作FT⊥DG,交DG延長線于點(diǎn)T,先證△FTD≌△DOE得FT=OD=OC,DT=OE,再證△FTG≌△COG得OT=2OG=8,根據(jù)OE=DT,OC=OD可得CE=OT.
解:(1)∵OC⊥OD,CA⊥BD,
∴∠COD=∠BCA=∠AOB=90°,
∴∠BOC+∠COE=90°, ∠DOE+∠COE=90°,
∴∠BOC=∠DOE,
∴∠AOC=∠BOD,
同理可證∠OBD=∠OAC,
在△AOC和△BOD中,
∵,
∴△AOC≌△BOD(AAS),
∴OA=OB;
(2)如圖1,過點(diǎn)A作AN∥OD,交OM延長線于點(diǎn)N,
則∠OAN+∠AOD=180°,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOD+∠BOC=180°,
∴∠OAN=∠BOC,
又∵OM∥AC,
∴∠AON=∠CAO,
由(1)知∠CAO=∠OBC,
∴∠AON=∠OBC,
又∵OA=OB,
∴△BOC≌△OAN(ASA),
∴BC=ON,AN=OC=OD,
∵AN∥OD,
∴∠MAN=∠MDO,∠MNA=∠MOD,
∴△AMN≌△DMO(ASA),
∴OM=MN=ON,即ON=2OM,
∴BC=2OM;
(3)如圖2,過點(diǎn)F作FT⊥DG,交DG延長線于點(diǎn)T,
則∠FTD=∠DOE=90°,
∴∠ODE+∠OED=90°,
又∵DE⊥DF,
∴∠ODE+∠FDT=90°,
∴∠OED=∠TDF,
∵DE=DF,
∴△FTD≌△DOE(AAS),
∴FT=OD,DT=OE,
∵OD=OC,
∴FT=OC,
∵∠FTG=∠COG=90°,∠FGT=∠CGO,
∴△FTG≌△COG(AAS),
∴OT=2OG=8,
∵OE=DT,OC=OD,
∴CE=OT=8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,連接AC、BD,M、N分別是AC、BD的中點(diǎn),連接MN
(1)求證:MN⊥BD.
(2)若∠DAC=62°,∠BAC=58°,求∠DMB
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí),解決下列問題:
(模型呈現(xiàn))
(1)如圖1,,,過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn).由,得.又,可以推理得到.進(jìn)而得到_____,_____.我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型;
(模型應(yīng)用)
(2)①如圖2,,,,連接,,且于點(diǎn),與直線交于點(diǎn).求證:點(diǎn)是的中點(diǎn).
②如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.若是以為斜邊的等腰直角三角形,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某實(shí)驗中學(xué)為了解學(xué)生“最適合自己的考前減壓方式”,在九年級范圍內(nèi)開展了一次抽樣調(diào)查,學(xué)生必須在四類選項中選擇一項,小明根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)這次抽樣調(diào)查中,抽查的學(xué)生人數(shù)為______人.
(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.
(3)扇形統(tǒng)計圖中“其他”所對應(yīng)扇形圓心角為______度.
(4)若實(shí)驗中學(xué)九年級有700人,請估計采用“聽音樂”作為減壓方式的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一定能確定△ABC≌△DEF的條件是( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠DB.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
C.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠ED.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B(3,0).C(0,3),點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)點(diǎn)P為線段MB上一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D.若OD=m,△PCD的面積為S,試判斷S有最大值或最小值?并說明理由;
(3)在MB上是否存在點(diǎn)P,使△PCD為直角三角形?如果存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=6,將矩形 ABCD 繞點(diǎn) A 逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形 AEFG,AE,F(xiàn)G 分別交射線CD 于點(diǎn) PH,連結(jié) AH,若 P 是 CH 的中點(diǎn),則△APH 的周長為( )
A. 15 B. 18 C. 20 D. 24
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 (1)閱讀理解:
我們知道,只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個經(jīng)典的希臘問題之一是三等分任意角,但是這個任務(wù)可以借助如圖所示的一邊上有刻度的勾尺完成,勾尺的直角頂點(diǎn)為P,“寬臂”的寬度=PQ= QR = RS,(這個條件很重要哦!)勾 尺的一邊 MN 滿足M, N, Q三點(diǎn)共線(所以PQ ⊥ MN).
下面以三等分∠ABC為例說明利用勾尺三等分銳角的過程:
第一步:畫直線DE使DE //BC,且這兩條平行線的距離等于PQ;
第二步:移動勾尺到合適位置,使其頂點(diǎn)P落在DE上,使勾尺的MN邊經(jīng)過點(diǎn)B,同時讓點(diǎn)R落在∠ABC的BA邊上;
第三步:標(biāo)記此時點(diǎn)Q和點(diǎn)P所在位置,作射線BQ和射線BP:
請完成第三步操作,圖中∠ABC的三等分線是射線 、 .
(2)在(1)的條件下補(bǔ)全三等分∠ABC的主要證明過程:
∵ ,BQ ⊥ PR,
∴BP= BR.(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等)
∴∠RBQ=∠PBQ,
∵PT⊥BC,PQ⊥BQ,PT=PQ,
∴∠ = ∠ . (角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)
∴∠ = = ∠ = ∠
(3)在(1)的條件下探究:
∠ABS=∠ABC是否成立?如果成立,請說明理由;如果不成立,請在下圖中∠ABC外部畫出∠ABV =∠ABC(無需寫畫法,保留畫圖痕跡即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司開發(fā)出一款新的節(jié)能產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本價為6元件,該產(chǎn)品在正式投放市場前通過代銷點(diǎn)進(jìn)行了為期30天的試銷售,售價為8元/件,工作人員對銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成如圖所示的圖象,圖中的折線ODE表示日銷售量y(件)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系,已知線段DE表示的函數(shù)關(guān)系中,時間每增加1天,日銷售量減少5件.
(1)第24天的日銷售量是 件,日銷售利潤是 元.
(2)求線段DE所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫出自變量的取值范圍)
(3)通過計算說明試銷售期間第幾天的日銷售量最大?最大日銷售量是多少?
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