Question

【題目】 (1)閱讀理解:

我們知道，只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個(gè)經(jīng)典的希臘問題之一是三等分任意角，但是這個(gè)任務(wù)可以借助如圖所示的一邊上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角頂點(diǎn)為P，“寬臂”的寬度=PQ= QR = RS,(這個(gè)條件很重要哦！)勾 尺的一邊 MN 滿足M, N, Q三點(diǎn)共線(所以PQ ⊥ MN).

下面以三等分∠ABC為例說明利用勾尺三等分銳角的過程:

第一步:畫直線DE使DE //BC，且這兩條平行線的距離等于PQ;

第二步:移動(dòng)勾尺到合適位置，使其頂點(diǎn)P落在DE上，使勾尺的MN邊經(jīng)過點(diǎn)B，同時(shí)讓點(diǎn)R落在∠ABC的BA邊上;

第三步:標(biāo)記此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)P所在位置，作射線BQ和射線BP:

請(qǐng)完成第三步操作，圖中∠ABC的三等分線是射線 、 .

（2）在(1)的條件下補(bǔ)全三等分∠ABC的主要證明過程:

∵ ，BQ ⊥ PR，

∴BP= BR.（線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）

∴∠RBQ=∠PBQ，

∵PT⊥BC，PQ⊥BQ，PT=PQ，

∴∠ = ∠ . （角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）

∴∠ = = ∠ = ∠

（3）在（1）的條件下探究：

∠ABS=∠ABC是否成立？如果成立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，請(qǐng)?jiān)谙聢D中∠ABC外部畫出∠ABV =∠ABC（無需寫畫法，保留畫圖痕跡即可）

Answer 1

【答案】（1）BP，BQ；（2）見解析；（3）不成立，圖見解析.

【解析】

（1）根據(jù)圖形可知BP，BQ是角的三等分線；

（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等和角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上結(jié)合圖形填空即可；

（3）根據(jù)閱讀材料進(jìn)行判斷可知不成立，畫圖：以點(diǎn)Q為圓心，大于QR為半徑畫弧，交AB兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心同樣長(zhǎng)大于QR為半徑畫弧交于一點(diǎn)O，連接BO即是所求.

（1）∠ABC的三等分線是射線BP和射線BQ；

（2）∵PQ=QR，BQ ⊥ PR，

∴BP=BR.（線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）

∴∠RBQ=∠PBQ，

∵PT⊥BC，PQ⊥BQ，PT=PQ，

∴∠PBQ= ∠PBC（角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）

∴∠RBQ=∠PBQ=∠PBC

故答案為：（1）BP，BQ；（2）PQ=QR，PBQ，PBC，RBQ，PBQ，PBC；

（3）在（1）的條件下探究：∠ABS=∠ABC不成立，在ABC外部畫出∠ABV =∠ABC如圖：