Question

【題目】閱讀理解：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是，．

對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P，給出如下定義：如果，則稱(chēng)點(diǎn)P為線段AB的“等角點(diǎn)”顯然，線段AB的“等角點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)，且A、B、P三點(diǎn)共圓．

設(shè)A、B、P三點(diǎn)所在圓的圓心為C，直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)和的半徑；

軸正半軸上是否有線段AB的“等角點(diǎn)”？如果有，求出“等角點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否有最大值？如果有，說(shuō)明此時(shí)最大的理由，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①或，半徑為，②，．（2）

【解析】分析：

（1）①如下圖1，連接BC、AC，則由“圓周角定理”可知∠ACB=2∠APB=90°，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則由已知條件根據(jù)“垂徑定理”可得AH=BH=CH=3，從而可得OH=OA+AH=4，由此即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，3）或（-4，-3）；此時(shí)在Rt△ACH中由勾股定理可求得的半徑為 ；②如下圖2，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，3）時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，則由CD=4<可知，此時(shí)C和y軸有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為P1和P2，連接CP1和CP2，利用勾股定理求得DP1和DP2的長(zhǎng)度即可求得P1和P2的坐標(biāo)了；

（2）如下圖3，當(dāng)過(guò)A，B的圓與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，∠最大，設(shè)此時(shí)圓心為E，則E在第三象限，在y軸的正半軸上任意取一點(diǎn)不與點(diǎn)P重合，連接MA，MB，PA，PB，設(shè)MB交E于點(diǎn)N，連接NA，則由“圓周角定理”和“三角形外角的性質(zhì)”易得∠APB=∠ANB>∠AMB，從而說(shuō)明此時(shí)∠APB最大；再過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，連接EA、EP，易證四邊形OPEF是矩形，由此可得PE=OF=4，再Rt△AEF中，由勾股定理可得EF=，從而可得OP=，由此即可得到此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

詳解：

（1）①如圖1，

在x軸的上方，作以AB為斜邊的直角三角形ACB，易知點(diǎn)A，B，P在上，連接CA，CB，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)H，

∵，

∴，

∴，，

∴，

由垂徑定理可得，，

∴，，

所以，半徑為，

由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)也滿足條件．

②軸的正半軸上存在線段AB的“等角點(diǎn)”．

如圖2所示，

當(dāng)圓心為時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，則，，

∵的半徑為，

∴與y軸相交，

設(shè)交點(diǎn)為，，連接，，CA，則，

∵軸，，，

∴，

∴，．

當(dāng)過(guò)A，B的圓與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，最大．

理由如下：如果點(diǎn)P在y軸的正半軸上，如圖3，

設(shè)此時(shí)圓心為E，則E在第三象限，在y軸的正半軸上任意取一點(diǎn)不與點(diǎn)P重合，

連接MA，MB，PA，PB，設(shè)MB交于點(diǎn)N，連接NA，

∵點(diǎn)P、點(diǎn)N在上，

∴，

∵是的外角，

∴，即，

此時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)F，連接EA，EP，則，，

∵與y軸相切于點(diǎn)P，則軸，

∴四邊形OPEF是矩形，，，

∴的半徑為4，即，

∴在中，，

∴，

∴