Question

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標(biāo)，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離．然后分三種情況進行討論：
①當(dāng)CP=PM時，P位于CM的垂直平分線上．求P點坐標(biāo)關(guān)鍵是求P的縱坐標(biāo)，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設(shè)PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長，可根據(jù)M的坐標(biāo)得出，CQ=3-x，因此可根據(jù)勾股定理求出x的值，P點的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為x，由此可得出P的坐標(biāo)．
②當(dāng)CM=MP時，根據(jù)CM的長即可求出P的縱坐標(biāo)，也就得出了P的坐標(biāo)（要注意分上下兩點）．
③當(dāng)CM=CP時，因為C的坐標(biāo)為（0，3），那么直線y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標(biāo)是6，由此可得出P的坐標(biāo)；
（3）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進行計算，過E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長．如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時E的坐標(biāo)．
解答：解：
（1）由題知：
解得：
∴所求拋物線解析式為：
y=-x²-2x+3；

（2）∵拋物線解析式為：
y=-x²-2x+3，
∴其對稱軸為x==-1，
∴設(shè)P點坐標(biāo)為（-1，a），當(dāng)x=0時，y=3，
∴C（0，3），M（-1，0）
∴當(dāng)CP=PM時，（-1）²+（3-a）²=a²，解得a=，
∴P點坐標(biāo)為：P（-1，）；
∴當(dāng)CM=PM時，（-1）²+3²=a²，解得a=±，
∴P點坐標(biāo)為：P（-1，）或P（-1，-）；
∴當(dāng)CM=CP時，由勾股定理得：（-1）²+3²=（-1）²+（3-a）²，解得a=6，
∴P點坐標(biāo)為：P（-1，6）
綜上所述存在符合條件的點P，其坐標(biāo)為P（-1，）或P（-1，-）
或P（-1，6）或P（-1，）；

（3）過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)E（a，-a²-2a+3）（-3＜a＜0）
∴EF=-a²-2a+3，BF=a+3，OF=-a
∴S_{四邊形BOCE}=BF•EF+（OC+EF）•OF
=（a+3）•（-a²-2a+3）+（-a²-2a+6）•（-a）
=
=-+
∴當(dāng)a=-時，S_{四邊形BOCE}最大，且最大值為．
此時，點E坐標(biāo)為（-，）．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識，要注意的是（2）中，不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下，要分類進行求解，不要漏解．