【題目】已知:如圖, AF平分∠BAC,BC⊥AF, 垂足為E,點D與點A關于點E對稱,PB分別與線段CF,AF相交于P,M.
(1)求證:AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關系,并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)∠F=∠MCD,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)全等三角形的性質和判定和線段垂直平分線性質求出AB=AC=CD,
(2)由AB=AC=CD推出∠CDA=∠CAD=∠CPM,求出∠MPF=∠CDM,∠PMF=∠BMA=∠CMD,在△DCM和△PMF中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.
(1)∵AF平分∠BAC,BC⊥AF,
∴∠CAE=∠BAE,∠AEC=∠AEB=90°,
在△ACE和△ABE中,∵∠AEC=∠AEB,AE=AE,∠CAE=∠BAE,
∴△ACE≌△ABE(ASA),
∴AB=AC,
∵∠CAE=∠CDE,
∴AM是BC的垂直平分線,
∴CM=BM,CE=BE,
∴∠CMA=∠BMA,
∵AE=ED,CE⊥AD,
∴AC=CD,
∴AB=CD;
(2)∠F=∠MCD,
理由是:∵AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠BAC=2∠MPC,
又∵∠BAC=2∠CAD,
∴∠MPC=∠CAD,
∴∠MPC=∠CDA,
∴∠MPF=∠CDM,
∴∠MPF=∠CDM(等角的補角相等),
∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°,∠F+∠MPF+∠PMF=180°,
又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD,
∴∠MCD=∠F.
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【題目】郵遞員騎車從郵局出發(fā),先向西騎行 2 km 到達 A 村,繼續(xù)向西騎行 3 km 到達 B 村, 然后向東騎行 9 km 到達 C 村,最后回到郵局.
(1)以郵局為原點,以向東方向為正方向,用 1 cm 表示 1 km 畫數(shù)軸,并在該數(shù)軸上表示 A,B,C 三個村莊的位置;
(2)C 村離 A 村有多遠?
(3)郵遞員一共騎行了多少千米?
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【題目】已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE為直徑的⊙O與BC相切于D,與AC相交于F,連接AD.
(1)求證:AD平分∠BAC;
(2)連接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的長.
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【題目】如圖,將一張直角三角形紙片沿斜邊上的中線剪開,得到,再將沿方向平移到的位置,若從平移開始到點未到達點時,交于點,交于點,連結.
(1)試探究的形狀,請說明理由;
(2)當四邊形為菱形時,判斷與是否全等,請說明理由.
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【題目】已知一副三角板按如圖1方式拼接在一起,其中邊,與直線重合,,.
(1)圖 1 中,=______°.
(2)如圖2,三角板固定不動,將三角板繞點按順時針方向旋轉一個角度,在轉動過程中兩塊三角板都在直線的上方:
①當平分、、其中的兩邊組成的角時,求滿足要求的所有旋轉角度的值;
②是否存在?若存在,求此時的的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l:y=kx+h與x軸相交于點A(﹣1,0),與y軸相交于點C,與拋物線y=﹣x2+bx+3的一交點為點D,拋物線過x軸上的AB兩點,且CD=4AC.
(1)求直線l和拋物線的解析式;
(2)點E是直線l上方拋物線上的一動點,求當△ADE面積最大時,點E的坐標;
(3)設P是拋物線對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,四邊形APDQ能否為矩形?若能,請直接寫出點P的坐標;若不能,請說明理由.
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【題目】一次期中考試中,甲、乙、丙、丁、戍五位同學的數(shù)學、英語成績等有關信息如下 表所示:(單位:分)
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戍 | 平均分 | 標準差 | |
數(shù)學 | 71 | 72 | 69 | 68 | 70 | ||
英語 | 88 | 82 | 94 | 85 | 76 | 85 |
(1)求這五位同學在本次考試中數(shù)學成績的平均分和英語成績的標準差;
(2)為了比較不同學科考試成績的好與差,采用標準分是一個合理的選擇.標準分 的計算公式是:標準分=(個人成績-平均成績)÷成績標準差.從標準分看, 標準分大的考試成績更好.請問甲同學在本次考試中,數(shù)學與英語哪個學科考 得更好?
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【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,∠CAB=∠ACB,過點B作BE⊥AB交AC于點E.
(1)求證:AC⊥BD;
(2)若AB=14,cos∠CAB=,求線段OE的長.
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