Question

1．如圖1，直線y=$-\frac{1}{2}$x+2交坐標(biāo)軸于A，B兩點，交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＜0）于點C，且S_△AOC=8．
（1）求k的值；
（2）如圖2，A，G關(guān)于y軸對稱，P為雙曲線上一點，過P作PD⊥x軸于D，分別交BG，AB于F，E．求證：DE+DF=4；
（3）Q為雙曲線上另一動點，連接OQ，過C作CM⊥OQ于M，CN⊥y軸于N，如圖3，當(dāng)Q點運動時，∠OMN是否為定值？猜想并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先求出點A、B的坐標(biāo)，再由三角形COA的面積求出點C縱坐標(biāo)，代入直線解析式求出點C的橫坐標(biāo)，把C（-4，4）代入y=$\frac{k}{x}$，即可確定k的值，
（2）先設(shè)出點P坐標(biāo)，再確定出直線AC，BG解析式，進而確定出點D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，即可得出DE，DF，直接計算即可得出結(jié)論；
（3）作NE⊥MC于E，作NF⊥OM于F，作CG⊥x軸于G；則四邊形CGON是正方形，證明C、M、O、N四點共圓，再用同弧所對的圓周角相等，即可．

解答 解：（1）對于直線y=-$\frac{1}{2}$x+2，當(dāng)y=0時，x=4；當(dāng)x=0時，y=2；
∴A（4，0），B（0，2），
設(shè)C（a，b），
∵S_△COA=$\frac{1}{2}$×4×b=8，
∴b=4，
把C（a，4）代入y=-$\frac{1}{2}$x+2得：a=-4
∴C（-4，4），
把C（-4，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：
k=-16，
（2）設(shè)P坐標(biāo)為（m，n），
∵A，G關(guān)于y軸對稱，且A（4，0），
∴G（-4，0），
∵B（0，2），
∴直線BG解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵過P作PD⊥x軸于D，分別交BG于F，
∴F（m，$\frac{1}{2}$m+2），D（m，0）
∴DF=$\frac{1}{2}$m+2，
∵A（4，0），C（-4，4），
∴直線AC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵過P作PD⊥x軸于D，分別交AC于E，
∴E（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
∴DE=-$\frac{1}{2}$m+2，
∴DE+DF=-$\frac{1}{2}$m+2+=$\frac{1}{2}$m+2=4；
（3）當(dāng)Q點運動時，∠OMN是定值．
理由：如圖所示，

作NE⊥MC于E，作NF⊥OM于F，作CG⊥x軸于G；
則四邊形CGON是正方形，∠CMF=∠MFN=∠NEM=90°，
∴四邊形EMFN是矩形，CG=OG=ON=CN=4，∠OCN=∠CON=45°，
∵CM⊥OQ，CN⊥y軸，
∴∠CMO=∠CNO=90°，
∴C、M、O、N四點共圓，
∴∠OMN=∠OCN=45°．
當(dāng)Q點運動時，∠OMN是定值，定值為45°．

點評 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了圖形與坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)解析式的求法、正方形的判定與性質(zhì)、四點共圓；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）中，需要通過作輔助線證明正方形．