Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是平行四邊形，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在雙曲線y=-$\frac{8}{x}$上，直線y=-x+m經(jīng)過點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D．
（1）直接寫出B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P（0，t）是線段OB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與O，B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作x軸的平行線，分別交AB，OC，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，設(shè)線段EG的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，若BG⊥OC，垂足為點(diǎn)M，求此時t的值；
（4）在（3）的條件下，在線段OB上是否存在一點(diǎn)H，使∠BFH=∠ABO，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）先求出直線AB的解析式，再分別求出點(diǎn)E、點(diǎn)G坐標(biāo)即可解決問題．
（3）求出直線BG的解析式，利用方程組求出點(diǎn)G坐標(biāo)，即可解決問題．
（4）先證明△BEF是等腰三角形，可以推出線段BF的中垂線與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)H．求出線段BF的中垂線的解析式即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OA=BC=2，
∵點(diǎn)C在y=$\frac{8}{x}$上，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（2，4），
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（0，4），
把C（2，4）代入y=-x+m，得到m=6，
∴直線CD解析式為y=-x+6，
∵y=0時，x=6，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（6，0）．
∴B（0，4），C（2，4），D（6，0）．

（2）∵A（-2，0），B（0，4），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=2x+4，
∵點(diǎn)P（0，t），直線CD解析式為y=-x+6，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（$\frac{t-4}{2}$，t）點(diǎn)G坐標(biāo)（6-t，t），
∴d=EG=（6-t）-$\frac{t-4}{2}$=-$\frac{3}{2}$t+8（0＜t＜4）．

（3）∵直線AB解析式為y=2x+4，AB∥CD，
∴直線CD解析式為y=2x，
∵BG⊥CD，
∴直線BG的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+4}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)G坐標(biāo)（4，2），
∴OP=2，
∴t=2．

（4）∵t=2時，F(xiàn)（1，2），E（-1，2），
∴PE=PF，
∵BP⊥EF，
∴BE=BF，
∴∠ABO=∠FBP，
∵∠BFH=∠ABO=∠FBP，
∴HB=HF，
∴點(diǎn)H在BF的垂直平分線上，
∵B（0，4），F(xiàn)（1，2），
∴可得直線BF解析式為y=-2x+4，
∵BF中點(diǎn)K坐標(biāo)（$\frac{1}{2}$，3），
∴可得線段BF的中垂線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{4}$，
∴點(diǎn)H坐標(biāo)（0，$\frac{11}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．