Question

15．如圖，已知正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE=DF，連接AC交EF于點G，∠EAF=60°，給出下列結(jié)論：①AE=AF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF，其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，CB=CD，則可利用“SAS”證明△ABE≌△ADF，于是得到AE=AF，則可對①進行判斷；利用全等的性質(zhì)得∠BAE=∠DAF，加上∠EAF=60°，易得∠DAF=15°，則可對②進行判斷；證明CE=CF，加上AE=AF，則可利用線段垂直平分線定理的逆定理可對③進行判斷．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，
在△ABE和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF
∴AE=AF，所以①正確；
∠BAE=∠DAF，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=90°-60°=30°，
∴∠DAF=15°，所以②正確；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，
而BE=DF，
∴CE=CF，
∴點C在EF的垂直平分線上，
∵AE=AF，
∴點A在EF的垂直平分線上，
∴AC垂直平分EF，所以③正確．
故選D．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)；能利用全等三角形的知識證明線段相等的問題；靈活應用線段垂直平分線定理的逆定理．