【題目】如圖,已知直線lO相離,OAl于點AOA=5,OAO相交于點P,ABO相切于點B, BP的延長線交直線l于點C.

(1)試判斷線段ABAC的數(shù)量關系,并說明理由;

(2)PC=,求O的半徑和線段PB的長;

(3)若在O上存在點Q,使QAC是以AC為底邊的等腰三角形,求O的半徑r的取值范圍.

【答案】1AB=AC;理由見解析(2⊙O的半徑為3,線段PB的長為;(3≤r5

【解析】試題分析:(1)連接OB,根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°,推出∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,求出∠ACP=∠ABC,根據(jù)等腰三角形的判定推出即可;

2)延長AP⊙OD,連接BD,設圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5-r,根據(jù)AB=AC推出52-r2=22-5-r2,求出r,證△DPB∽△CPA,得出,代入求出即可;

3)根據(jù)已知得出QAC的垂直平分線上,作出線段AC的垂直平分線MN,作OE⊥MN,求出OEr,求出r范圍,再根據(jù)相離得出r5,即可得出答案.

試題解析:(1AB=AC,理由如下:

連接OB

∵AB⊙OB,OA⊥AC,

∴∠OBA=∠OAC=90°,

∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,

∵OP=OB,

∴∠OBP=∠OPB,

∵∠OPB=∠APC,

∴∠ACP=∠ABC

∴AB=AC;

2)延長AP⊙OD,連接BD,

設圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5-r,

AB2=OA2-OB2=52-r2,

AC2=PC2-PA2=22-5-r2,

∴52-r2=22-5-r2,

解得:r=3,

∴AB=AC=4,

∵PD是直徑,

∴∠PBD=90°=∠PAC

∵∠DPB=∠CPA,

∴△DPB∽△CPA,

,

,

解得:PB=

∴⊙O的半徑為3,線段PB的長為;

3)作出線段AC的垂直平分線MN,作OE⊥MN,則可以推出OE=AC=AB=

O與直線MN有交點,

∴OE=≤r,

,

25-r2≤4r2,

r2≥5,

∴r≥,

O與直線相離,

∴r5

≤r5

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