【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC,交AC于點(diǎn)E,AC的反向延長線交⊙O于點(diǎn)F.
(1)求證:DE是⊙O的切線.
(2)若DE+EA=4,⊙O的半徑為5,求CF的長度.
【答案】(1)詳見解析;(2)CF=18.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件得到OD∥AC即可,于是得到結(jié)論;
(2)如圖,過點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H,構(gòu)建矩形ODEH,設(shè)AH=x.則由矩形的性質(zhì)推知:AE=5x,OH=DE=4(5x)=x1.在Rt△AOH中,由勾股定理知:x2+(x1)2=52,通過解方程得到AH的長度,結(jié)合OH⊥AF,得到AF=2AH=2×4=8,于是得到結(jié)論.
(1)∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ODB=∠ACB,
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,OD是半徑,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切線;
(2)過點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H,則∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°,
∴四邊形ODEH是矩形,
∴OD=EH,OH=DE.
設(shè)AH=x.
∵DE+AE=4,OD=5,
∴AE=5﹣x,OH=DE=4﹣(5﹣x)=x﹣1.
在Rt△AOH中,由勾股定理知:AH2+OH2=OA2,即x2+(x﹣1)2=52,
解得x1=4,x2=﹣3(不合題意,舍去).
∴AH=4.
∵OH⊥AF,
∴AH=FH=AF,
∴AF=2AH=2×4=8,
∵AC=AB=2OD=10,
∴CF=18.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】畫出函數(shù)y=2x+1的圖象,利用圖象求:
(1)方程2x+1=0的根;
(2)不等式2x+1≥0的解集;
(3)當(dāng)y≤3時,求x的取值范圍;
(4)當(dāng)﹣3≤y≤3時,求x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線是一次函數(shù)的圖象,直線是一次函數(shù)的圖象.
(1)求A、B、P三點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求的面積;
(3)已知過P點(diǎn)的直線把分成面積相等的兩部分,求該直線解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,E為BC邊上一點(diǎn)(不與B、C重合),D為AB延長線上一點(diǎn)且BD=BE.點(diǎn)F、G分別為AE、CD的中點(diǎn).
(1)求證:AE=CD.
(2)求證:△BFG為等腰直角三角形.
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【題目】“三八宏圖展,九州春意濃”,為了解某校1000名學(xué)生在2017年3月8日“婦女節(jié)”期間對母親表達(dá)祝賀的方式,某班興趣小組隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并將問卷調(diào)查的結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計表:
某校抽取學(xué)生“婦女節(jié)”期間對母親表達(dá)祝賀的方式的統(tǒng)計表
方式 | 頻數(shù) | 百分比 |
送母親禮物 | 23 | 46% |
幫母親做家務(wù) | ||
給母親一個愛的擁抱 | 8% | |
其他 | 15 | |
合計 | 100% |
(1)本次問卷調(diào)查抽取的學(xué)生共有 人,其中通過給母親一個愛的擁抱表達(dá)祝賀的學(xué)生有 人.
(2)從上表的“頻數(shù)”、“百分比”兩列數(shù)據(jù)中選擇一列,用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表示.
(3)根據(jù)抽樣的結(jié)果,估計該校學(xué)生通過幫母親做家務(wù)表達(dá)祝賀的約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC,∠ACB=90°.分別以AB,AC為邊作正方形ABEF和正方形ACMN,連接FN.若AC=4,BC=3,則S△ANF=______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:
為解方程(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0,我們可以將x2﹣1視為一個整體,然后設(shè)x2﹣1=y,則原方程化為y2﹣5y+4=0,解此方程得:y1=1,y2=4.
當(dāng)y=1時,x2﹣1═1,∴x=±.
當(dāng)y=4時,x2﹣1═4,∴x=±.
∴原方程的解為:x1=,x2=﹣,x3=,x4=﹣.
以上方法叫做換元法解方程,達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.
運(yùn)用上述方法解方程:x4﹣8x2+12=0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC,點(diǎn)D在直線AB上,連接CD,在CD的右側(cè)作CE⊥CD,CD=CE,
(1)如圖1,①點(diǎn)D在AB邊上,直接寫出線段BE和線段AD的關(guān)系;
(2)如圖2,點(diǎn)D在B右側(cè),BD=1,BE=5,求CE的長.
(3)拓展延伸
如圖3,∠DCE=∠DBE=90,CD=CE,BC=,BE=1,請直接寫出線段EC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知中,,厘米,厘米,點(diǎn)為的中點(diǎn).如果點(diǎn)在線段上以每秒2厘米的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動,同時,點(diǎn)在線段上以每秒厘米的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為(秒).
(1)用含的代數(shù)式表示的長度;
(2)若點(diǎn)、的運(yùn)動速度相等,經(jīng)過1秒后,與是否全等,請說明理由;
(3)若點(diǎn)、的運(yùn)動速度不相等,當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動速度為多少時,能夠使與全等?
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