Question

（1997•江西）已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），頂點M的縱坐標(biāo)為-4，若x₁、x₂是方程x²-2（m-1）x+m²-7=0的兩個根，且x²₁+x²₂=10．
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點P，使三角形PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍？若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，建立關(guān)于m的方程，然后解答即可求出m的值；
（2）根據(jù)A、B的橫坐標(biāo)，求出M的橫坐標(biāo)，從而得到M的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令x=0，即可得到y(tǒng)=-3，從而得到函數(shù)解析式．
（3）假設(shè)存在點P，根據(jù)S_{四邊形ACMB}=S_△ACO+S_梯形OCMD+S_△DMB，求出四邊形的面積，根據(jù)S_△PAB=2S_{四邊形ACMB}，建立關(guān)于m的解析式，據(jù)此解答即可．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-2（m-1）x+m²-7=0的兩個根，
∴x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m²-7．
又∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
∴[2（m-1）]²-2（m²-7）=10，
即m²-4m+4=0．
解得：m₁=m₂=2．
將m=2代入方程x²-2（m-1）x+m²-7=0，
得：x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∴點A的坐標(biāo)為（-1，0），點B的坐標(biāo)為（3，0）．

（2）因為拋物線與x軸的交點為A（-1，0）、B（3，0），由對稱性可知，頂點M的橫坐標(biāo)為1，則頂點M的坐標(biāo)為（1，-4）．
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 a+b+c=-4

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
在y=x²-2x-3中，
令x=0，得y=-3．
∴點C的坐標(biāo)為（0，-3）．

（3）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點D，
則AO=OD=1，DB=2，OC=3，
DM=4，AB=4．
∴S_{四邊形ACMB}=S_△ACO+S_梯形OCMD+S_△DMB
=

1

2

•AO•CO+

1

2

（CO+MD）+

1

2

DB•MD
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4=9．
設(shè)P（x₀，y₀）為拋物線上一點，
則S_△PAB=

1

2

AB•|y₀|．
若S_△PAB=2S_{四邊形ACMB}，
則

1

2

•AB•|y₀|=18，
∴丨y₀丨=9，y₀=±9．
將y₀=9代入y=x²-2x-3中，得x²-2x-3=9，
即x²-2x-12=0，
解得：x₁=1-

13

，x₂=1+

13

．
將y₀=-9代入y=x²-2x-3中，得：x²-2x-3=-9，
即x²-2x+6=0．
∵△=（-2）²-4×1×6=-20＜0，
∴此方程無實數(shù)根．
∴符合條件的點P有兩個：P₁（1-

13

，9），P₂（1+

13

，9）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點求法和三角形的面積求法．在求存在性問題時，要假設(shè)該點存在，然后進行計算，若得出矛盾，則不存在，否則，存在．