Question

25、（1）已知：如圖RT△ABC中，∠ACB=90°，ED垂直平分AC交AB與D，求證：DA=DB=DC．

（2）利用上面小題的結(jié)論，繼續(xù)研究：如圖，點(diǎn)P是△FHG的邊HG上的一個動點(diǎn)，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，F(xiàn)P與MN交于點(diǎn)K．當(dāng)P運(yùn)動到某處時，MN與FP正好互相垂直，請問此時FP平分∠HFG嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可以得到AD=CD，再利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ACD，而∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，由此即可得到∠B=∠BCD，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明題目結(jié)論；
（2）如圖，作線段MF的垂直平分線交FP于于點(diǎn)O，作線段FN的垂直平分線也必與FP交于點(diǎn)O，根據(jù)（1）的結(jié)論可以得到OM=OP=OF=ON，然后由此可以證明Rt△OKM≌Rt△OKN，然后利用線段性質(zhì)得到MK=NK，由此可以證明△FKM≌△FKN，然后即可證明題目結(jié)論．

解答：解：（1）∵ED垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
而∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，
∴DA=DB=DC；

（2）如圖，作線段MF的垂直平分線交FP于于點(diǎn)O，
∵PM⊥FH，PN⊥FG，
∴△MPF和△NPF都是直角三角形；
作線段MF的垂直平分線交FP于點(diǎn)O，
由（1）中所證可知OF=OP=OM；
作線段FN的垂直平分線也必與FP交于點(diǎn)O；
∴OM=OP=OF=ON，
又∵M(jìn)N⊥FP，
∴∠OKM=∠OKN；
∴PT△OKM≌RT△OKN；
∴MK=NK；
∴△FKM≌△FKN；
∴∠MFK=∠NFK，
即FP平分∠HFG．

點(diǎn)評：此題是一個探究性試題，利用第一問的結(jié)論解決第二問，實(shí)際上很難把兩個問題聯(lián)系起來，只有通過作輔助線才能把它們聯(lián)系在一起，所以題目的輔助線是解題的關(guān)鍵．